3D 中直线与三角形的交点

Question

我在 3D 空间的某处有一条线和一个三角形。 换句话说，三角形有 3 个点（每个 [x,y,z]），直线有两个点（也有 [x,y,z]）。

我需要找出一种方法，希望使用 C++ 来确定这条线是否穿过三角形。 一条平行于三角形的线，并且有一个以上的公共点，应算作“不相交”。

我已经编写了一些代码，但它不起作用，即使视觉表示清楚地显示了交叉点，我也总是出错。

ofVec3f P1, P2;
P1 = ray.s;
P2 = ray.s + ray.t;

ofVec3f p1, p2, p3;
p1 = face.getVertex(0);
p2 = face.getVertex(1);
p3 = face.getVertex(2);

ofVec3f v1 = p1 - p2;
ofVec3f v2 = p3 - p2;

float a, b, c, d;

a = v1.y * v2.z - v1.z * v2.y;
b = -(v1.x * v2.z - v1.z * v2.x);
c = v1.x * v2.y - v1.y * v2.x;
d = -(a * p1.x + b * p1.y + c * p1.z);

ofVec3f O = P1;
ofVec3f V = P2 - P1;

float t;

t = -(a * O.x + b * O.y + c * O.z + d) / (a * V.x + b * V.y + c * V.z);

ofVec3f p = O + V * t;

float xmin = std::min(P1.x, P2.x);
float ymin = std::min(P1.y, P2.y);
float zmin = std::min(P1.z, P2.z);

float xmax = std::max(P1.x, P2.x);
float ymax = std::max(P1.y, P2.y);
float zmax = std::max(P1.z, P2.z);


if (inside(p, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax)) {
    *result = p.length();
    return true;
}
return false;

这是 inside() 的定义

bool primitive3d::inside(ofVec3f p, float xmin, float xmax, float ymin, float ymax, float zmin, float zmax) const {
    if (p.x >= xmin && p.x <= xmax && p.y >= ymin && p.y <= ymax && p.z >= zmin && p.z <= zmax)
        return true;

    return false;
}

Answer 1

1）如果你只想知道这条线是否与三角形相交（不需要实际的交点）：

让p1,p2,p3表示你的三角形

在两个方向都非常远的线上选择两个点q1,q2 。

让SignedVolume(a,b,c,d)表示四面体 a,b,c,d 的有符号体积。

如果SignedVolume(q1,p1,p2,p3)和SignedVolume(q2,p1,p2,p3)有不同的符号 AND SignedVolume(q1,q2,p1,p2) ， SignedVolume(q1,q2,p2,p3)和SignedVolume(q1,q2,p3,p1)符号相同，则有交点。

SignedVolume(a,b,c,d) = (1.0/6.0)*dot(cross(b-a,c-a),d-a)

2）现在如果你想要交集，当1）中的测试通过时

以参数形式写出直线方程： p(t) = q1 + t*(q2-q1)

写出平面方程： dot(p-p1,N) = 0其中

N = cross(p2-p1, p3-p1)

将p(t)注入平面方程： dot(q1 + t*(q2-q1) - p1, N) = 0

展开： dot(q1-p1,N) + t dot(q2-q1,N) = 0

推导出t = -dot(q1-p1,N)/dot(q2-q1,N)

交点为q1 + t*(q2-q1)

3）更高效的算法

我们现在研究该算法：

Möller 和 Trumbore，《快速、最小存储射线三角形交集》，图形工具杂志，第一卷。 2, 1997, p. 21–28

（也可以看看：）

https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6ller%E2%8%93Trumbore_intersection_algorithm

该算法最终更简单（比我们在 1) 和 2) 中所做的指令更少），但更难理解。 让我们一步一步推导出来。

符号：

• O = 射线的原点，

• D = 射线的方向向量，

• A,B,C = 三角形的顶点

射线上的任意点 P 可以写成P = O + tD

三角形上的任意点 P 可以写成P = A + uE1 + vE2其中E1 = BA和E2 = CA, u>=0, v>=0 and (u+v)<=1

写出 P 的两个表达式给出：

O + tD = A + uE1 + vE2 

或者：

uE1 + vE2 -tD = O-A

以矩阵形式：

            [u]
 [E1|E2|-D] [v] = O-A
            [t]

（其中 [E1|E2|-D] 是以 E1,E2,-D 为列的 3x3 矩阵）

使用 Cramer 公式求解：

   [a11 a12 a13][x1]   [b1]
   [a12 a22 a23][x2] = [b2]
   [a31 a32 a33][x3]   [b3]

给出：

       |b1 a12 a13|   |a11 a12 a13|
  x1 = |b2 a22 a23| / |a21 a22 a23|
       |b3 a32 a33|   |a31 a32 a33|

       |a11 b1 a13|   |a11 a12 a13|
  x2 = |a21 b2 a23| / |a21 a22 a23|
       |a31 b3 a33|   |a31 a32 a33|

       |a11 a12 b1|   |a11 a12 a13|
  x3 = |a21 a22 b2| / |a21 a22 a23|
       |a31 a32 b3|   |a31 a32 a33|

现在我们得到：

  u = (O-A,E2,-D) / (E1,E2,-D)
  v = (E1,O-A,-D) / (E1,E2,-D)
  t = (E1,E2,O-A) / (E1,E2,-D)

其中 (A,B,C) 表示以 A,B,C 作为其列向量的 3x3 矩阵的行列式。

现在我们使用以下身份：

  (A,B,C) = dot(A,cross(B,C))  (develop the determinant w.r.t. first column)

  (B,A,C) = -(A,B,C)           (swapping two vectors changes the sign)

  (B,C,A) =  (A,B,C)           (circular permutation does not change the sign)

现在我们得到：

u = -(E2,O-A,D)  / (D,E1,E2)
v =  (E1,O-A,D)  / (D,E1,E2)
t = -(O-A,E1,E2) / (D,E1,E2)  

使用：

N=cross(E1,E2);

AO = O-A; 

DAO = cross(D,AO)

我们最终得到以下代码（这里是 GLSL，易于翻译成其他语言）：

bool intersect_triangle(
    in Ray R, in vec3 A, in vec3 B, in vec3 C, out float t, 
    out float u, out float v, out vec3 N
) { 
   vec3 E1 = B-A;
   vec3 E2 = C-A;
         N = cross(E1,E2);
   float det = -dot(R.Dir, N);
   float invdet = 1.0/det;
   vec3 AO  = R.Origin - A;
   vec3 DAO = cross(AO, R.Dir);
   u =  dot(E2,DAO) * invdet;
   v = -dot(E1,DAO) * invdet;
   t =  dot(AO,N)  * invdet; 
   return (det >= 1e-6 && t >= 0.0 && u >= 0.0 && v >= 0.0 && (u+v) <= 1.0);
}
 

当函数返回true ，交点由R.Origin + t * R.Dir 。 三角形交点的重心坐标为u 、 v 、 1-uv （对于 Gouraud 着色或纹理映射很有用）。 好消息是您可以免费获得它们！

请注意，代码是无分支的。 我在 ShaderToy 上的一些着色器使用它

• https://www.shadertoy.com/view/tl3XRN
• https://www.shadertoy.com/view/3ltSzM

Answer 2

@BrunoLevi：您的算法似乎不起作用，请参阅以下 python 实现：

def intersect_line_triangle(q1,q2,p1,p2,p3):
    def signed_tetra_volume(a,b,c,d):
        return np.sign(np.dot(np.cross(b-a,c-a),d-a)/6.0)

    s1 = signed_tetra_volume(q1,p1,p2,p3)
    s2 = signed_tetra_volume(q2,p1,p2,p3)

    if s1 != s2:
        s3 = signed_tetra_volume(q1,q2,p1,p2)
        s4 = signed_tetra_volume(q1,q2,p2,p3)
        s5 = signed_tetra_volume(q1,q2,p3,p1)
        if s3 == s4 and s4 == s5:
            n = np.cross(p2-p1,p3-p1)
            t = -np.dot(q1,n-p1) / np.dot(q1,q2-q1)
            return q1 + t * (q2-q1)
    return None

我的测试代码是：

q0 = np.array([0.0,0.0,1.0])
q1 = np.array([0.0,0.0,-1.0])
p0 = np.array([-1.0,-1.0,0.0])
p1 = np.array([1.0,-1.0,0.0])
p2 = np.array([0.0,1.0,0.0])

print(intersect_line_triangle(q0,q1,p0,p1,p2))

给出：

[ 0.  0. -3.] 

而不是预期的

[ 0.  0. 0.]

看着线

t = np.dot(q1,n-p1) / np.dot(q1,q2-q1)

从法线减去 p1 对我来说没有意义，你想从 q1 投影到三角形的平面上，所以你需要沿着法线投影，距离与 q1 到平面和 q1-q2沿法线，对吗？

以下代码修复了这个问题：

n = np.cross(p2-p1,p3-p1)
t = np.dot(p1-q1,n) / np.dot(q2-q1,n)
return q1 + t * (q2-q1)

Answer 3

要在 3D 中找到一条线和一个三角形之间的交点，请遵循以下方法：

• 计算支撑三角形的平面，

• 将直线与支撑三角形的平面相交：

  • 如果没有交点，则与三角形没有交点。

  • 如果有交点，验证交点确实在三角形内：

    • 三角形的每条边与支撑三角形的平面的法线一起确定了三角形内部的半空间（相应的边界平面可以从法线和边顶点导出），
    • 验证交点是否位于所有边半空间的内侧。

以下是一些具有详细计算的示例代码，应该可以正常工作：

// Compute the plane supporting the triangle (p1, p2, p3)
//     normal: n
//     offset: d
//
// A point P lies on the supporting plane iff n.dot(P) + d = 0
//
ofVec3f v21 = p2 - p1;
ofVec3f v31 = p3 - p1;

ofVec3f n = v21.getCrossed(v31);
float d = -n.dot(p1);

// A point P belongs to the line from P1 to P2 iff
//     P = P1 + t * (P2 - P1)
//
// Find the intersection point P(t) between the line and
// the plane supporting the triangle:
//     n.dot(P) + d = 0
//                  = n.dot(P1 + t (P2 - P1)) + d
//                  = n.dot(P1) + t n.dot(P2 - P1) + d
//
//     t = -(n.dot(P1) + d) / n.dot(P2 - P1)
//
ofVec3f P21 = P2 - P1;
float nDotP21 = n.dot(P21);

// Ignore line parallel to (or lying in) the plane
if (fabs(nDotP21) < Epsilon)
    return false;

float t = -(n.dot(P1) + d) / nDotP21;
ofVec3f P = P1 + t * P21;

// Plane bounding the inside half-space of edge (p1, p2): 
//     normal: n21 = n x (p2 - p1)
//     offset: d21 = -n21.dot(p1)
//
// A point P is in the inside half-space iff n21.dot(P) + d21 > 0
//

// Edge (p1, p2)
ofVec3f n21 = n.cross(v21);
float d21 = -n21.dot(p1);

if (n21.dot(P) + d21 <= 0)
    return false;

// Edge (p2, p3)
ofVec3f v32 = p3 - p2;
ofVec3f n32 = n.cross(v32);
float d32 = -n32.dot(p2);

if (n32.dot(P) + d32 <= 0)
    return false;

// Edge (p3, p1)
ofVec3f n13 = n.cross(-v31);
float d13 = -n13.dot(p3);

if (n13.dot(P) + d13 <= 0)
    return false;

return true;

对随问题发布的代码的一些评论：

• ofVec3f预定义操作.cross()用于几何乘积等的.dot()和.cross()等...）在可用时应该是首选（更具可读性，避免实现错误等...），
• 代码最初遵循上述方法，但随后仅检查交点是否位于线段 [P1, P2] 的 3D 轴对齐边界框内。 这与可能的其他错误相结合可以解释结果不正确的原因。
• 可以验证交点是否在（整个）三角形的 3D 轴对齐边界框内。 虽然这不足以保证相交，但它可以用来剔除明显不相交的点并避免进一步复杂的计算。

Answer 4

我有一种不同的方法来做到这一点，我在我的渲染器中发现它比 BrunoLevy 给出的第一种方法快得多。 （我还没有实现第二种方式）

点A、B、C是三角形的顶点
O是射线的原点
D是光线的方向（不需要归一化，只是比三角形更靠近原点）

检查方向（D+O）是否在四面体A、B、C、O内部

bool SameSide(vec3 A, vec3 B, vec3 C, vec3 D, vec3 p)
{
    vec3 normal = cross(B - A, C - A);
    float dotD = dot(normal, D - A);
    float dotP = dot(normal, p - A);
    return signbit(dotD) == signbit(dotP);
}

bool LineIntersectTri(vec3 A, vec3 B, vec3 C, vec3 O, vec3 D)
{
    return SameSide(A, B, C, O, O+D) &&
           SameSide(B, C, O, A, O+D) &&
           SameSide(C, O, A, B, O+D) &&
           SameSide(O, A, B, C, O+D);               
}

如果 D 发生变化，而其他一切都保持不变（例如在光线投射渲染器中），则不需要重新计算 normal 和 dotP； 这就是为什么我发现它快得多的原因

代码来自这个答案https://stackoverflow.com/a/25180294/18244401