在monad上映射箭头

Question

据我所知，一个箭头是Profunctor，其中一个可以将其输入和输出，而是一个可以映射在一个仿函数的箭头？

据我所知，答案是“不”，因为fmap函数类型签名是(a -> b) -> fa -> fb而且不承认Arrow ab ，但我希望我所要求的是清楚的。

我正在寻找一种方法，例如，使用箭头转换一个Maybe输入，其中Nothing转到Nothing ， Just x转到Just y ，其中y是将箭头应用于x 。

Answer 1

Arrow结合了两个概念。 正如你所说，其中一个就是一个profunctor，但首先它只是一个特定的类别类别 （实际上是超类证据）。

这与这个问题高度相关：是的， fmap的签名是(a -> b) -> fa -> fb ，但实际上这几乎不是函子可以做的全部通用！ 在数学中，算符是两类C和d，在C的每个箭头分配给在d中的箭头之间的映射。 不同类别的箭头，就是这样！ 标准的Functor类仅捕获最简单的特殊情况，即Hask类别中的endofunctors 。

仿函数类的完整通用版本实际上看起来更像这样（这里是我的约束类别版本）：

class (Category r, Category t) => Functor f r t | f r -> t, f t -> r where
  fmap :: r a b -> t (f a) (f b)

或者，在伪语法中，

class (Category (──>), Category (~>)) => Functor f (──>) (~>) where
  fmap :: (a ──> b) -> f a ~> f b

当其中一个类别是正确的箭头而不是普通的功能类别时，这肯定也可以工作。 例如，您可以定义

instance Functor Maybe (Kleisli [] (->)) (Kleisli [] (->)) where
  fmap (Kleisli f) = Kleisli mf
   where mf Nothing = [Nothing]
         mf (Just a) = Just <$> f a

用得像

> runKleisli (fmap . Kleisli $ \i -> [0..i]) $ Nothing
[Nothing]
> runKleisli (fmap . Kleisli $ \i -> [0..i]) $ Just 4
[Just 0,Just 1,Just 2,Just 3,Just 4]

如果使用标准的profunctor-ish箭头，不确定这对于任何非常重要的事情是否有用。 这是在其他类别不属于 Hask -profunctors肯定是有用的， 例如

instance (TensorSpace v) => Functor (Tensor s v) (LinearFunction s) (LinearFunction s)

表示你可以在张量积的单个因子上映射线性函数（而通常不可能在这样的乘积上映射非线性函数 - 结果将取决于向量空间的基础选择）。

Answer 2

我正在寻找一种方法，例如，用箭头转换一个Maybe输入，其中Nothing转到Nothing ， Just x转到Just y ，其中y是将箭头应用于x 。

这可以针对特定的Functor （例如Maybe ）实现，虽然ArrowChoice可能是必要的：

maybeAmap :: ArrowChoice p => p a b -> p (Maybe a) (Maybe b)
maybeAmap p =
    maybe (Left ()) Right
    ^>> returnA +++ p
    >>^ const Nothing ||| Just

请参阅箭头等效于mapM？ 用于在proc-notation中编写的类似函数。

说到mapM ， profunctors有一个名为Traversing的有趣类 ：

-- Abbreviated class definition:
class (Choice p, Strong p) => Traversing p where
  traverse' :: Traversable f => p a b -> p (f a) (f b)
  wander :: (forall f. Applicative f => (a -> f b) -> s -> f t) -> p a b -> p s t

Traversing的旗帜实例是Star profunctor的实例 ，它提供熟悉的traverse函数的替代编码。 需要注意的是，虽然leftaroundabout的回答表明非Hask仿函数为其不一定Hask -profunctors类，用Traversing我们有一个建筑Profunctor s表示不一定有Category的实例。