构造包含哈密顿路径的图

Question

背景信息我正在研究优化问题，并设法将问题减少到检查图形是否包含哈密顿路径。 简化的问题如下：

我们给了问题一个边序列（例如： e[1,5], e[3,4], ..., e[2,3] ）。 我们需要找到从该序列开始处要取的边数，以便使用这些边形成的图包含哈密顿路径。 我们还需要返回路径。

我的算法该问题可以通过从无边的图形开始解决。 我们一个接一个地插入边，并检查图在每次迭代中是否包含哈密顿路径。 通过使用存在哈密顿路径的必要条件，可以使此方法更快一些。 尽管如此，该算法仍然效率很低。

重大问题是否有办法以更有效的方式解决此问题（也许通过使用早期迭代中完成的计算来加快以后的迭代速度）？

Answer 1

我建议使用约束可满足性工具包来解决此问题。 我将继续使用布尔可满足性框架，但是您可以查看其他选项，例如SMT ， integer programming 。

让我们介绍一组布尔变量，它们代表图中的每个顶点：

v_0，v_1，...，v_N

接下来，我们介绍一组布尔变量来表示每个可能的边（显然是N ^ 2）：

e_0，e_1，...，e_ {N ^ 2}

检查此链接以获取详细信息。

当且仅当图形中存在相应的顶点/边时，布尔变量X才为True 。 就您而言，我们正在谈论边缘。

目前，您可以尝试将边沿选择算法作为一组布尔约束引入：

1. 如果顶点v_i具有度D，则必须存在边E
2. 如果存在v_i和v_j之间的边，那么边E必须不存在
3. 等等

您可以依靠伪布尔编码来引入此类约束。

如果对输入变量进行了这样的赋值，则结果布尔公式返回True （这是满足的 ），那么您可以将该赋值解释为包含汉密尔顿路径的图，并通过给定的一组规则（约束）构建。 您可以使用SAT解算器（例如， 葡萄糖）来查找此类分配。

我使用类似的方法来解决具有10 ^ 5变量和10 ^ 6约束的实际问题。 这可能会占用大量时间和内存，但它的工作原理要比蛮力好得多，并且更加灵活：您可以轻松添加/删除其他约束，而无需修改代码。

我看到一些缺点：

1. 在您的情况下，这种方法可能不太可扩展。 结果在很大程度上取决于问题本身，因此很难预测
2. 将图构建过程编码为一组布尔约束，这并非易事。
3. 本质上，SAT解算器返回随机分配。 如果您想查看其他解决方案/图形，则必须为问题添加新的约束。

我的算法可能并不完美，但是如果您不确切地知道如何构建结果（除了蛮力，就没有明确的算法可以做到），约束可满足性工具包是一种非常有效的方法。

编辑：

如果对图形进行加权，您仍然可以使用SAT来解决此问题，但这会困难得多：权重应该在给定范围内并且应该是离散的。 不过，您可以考虑使用混合整数编程