将边缘添加到非循环图

Question

我有一个有向和无向边的图，现在我想通过将无向边替换为有向边来消除无向边（每个无向边变成一个有向边）。 每个无向边缘都有两个可能性（用一个方向或另一个方向上的有向边缘替换它）。

如何确定无向边的方向，以便我的图保持非循环状态（ DAG ）？

我的方法：

在没有无向边的图形上进行拓扑排序，将无向边一个接一个地添加（使它们从较小的拓扑指向较大的指向）。

这似乎不起作用，因为拓扑排序创建了部分顺序（并非所有顶点彼此都可比），我需要的是总顺序（所有顶点都可比）。 如何将部分订单扩展到总订单？

我的方法失败的示例图：

• n = 8（顶点数，从1到n编号）
• m = 5（有向边的数量）
• l = 6（无向边数）

有向边：

1. 2-> 1
2. 3-> 2
3. 2-> 6
4. 4-> 5
5. 5-> 8

无向边缘：

1. 1 <-> 4
2. 2 <-> 5
3. 3 <-> 7
4. 4 <-> 8
5. 6 <-> 7
6. 6 <-> 8

仅在顶点旁边具有定向边和拓扑顺序值的图：

现在，当我开始添加未定向的边（并根据拓扑顺序值对其进行定向）时，在添加边8-> 4后得到一个循环：

https://en.wikipedia.org/wiki/Directed_acyclic_graph

Answer 1

根据定义，拓扑排序是线性顺序，每个线性顺序都是总顺序，因此从理论上讲，您的方法很好。 但是，您的实现是错误的。

即在您的拓扑顺序定义中，如果存在从a到b的边，则b <a。 但是在第二张图中，您打破了规则并从4到6添加了一条边（6> 4！），将顶点的标识符（8和4）与它们的拓扑顺序（4和6）混合在一起。

Answer 2

对我来说，您的方法似乎有效。 对顶点进行任何排序； 现有边缘的取向应使其指向“正确”，即从位置较低的顶点到位置较高的顶点。 这始终是可能的，并导致非循环有向图。

在下一步中，您也许可以使用Dedekind–MacNeille完成来生成包含初始顺序作为子集的总顺序。