网格上的 2D 装箱

Question

我有一个n × m网格和一组polyominos 。 我想知道是否可以将它们打包到网格中：不允许重叠或旋转。

我希望像大多数打包问题一样，这个版本是 NP-hard 并且难以近似，所以我不期待任何疯狂的事情，而是一种可以在 25 × 25 左右的网格上找到合理的打包并且在 10 × 10 左右相当全面的算法会很好。 （我的瓷砖主要是四块方块——四个块——但它们可能有 5-9 个以上的块。）

我会接受任何人提供的任何东西：一个算法、一篇论文、一个可以改编的现有程序。

Answer 1

这是一个类似于原型的SAT 求解器方法，它解决了：

• 先验固定的多米诺模式（参见代码中的Constants / Input ）
  • 如果允许旋转，则必须将旋转的部分添加到集合中
• 每个多联骨牌都可以放置 0-inf 次
• 除了：
  • 未覆盖瓷砖的数量最小化！

考虑到用于组合优化的经典现成方法（ SAT 、 CP 、 MIP ），这个方法可能会最好地扩展（有根据的猜测）。 在设计自定义启发式时，它也将很难被击败！

如果需要，这些幻灯片在实践中提供了一些对 SAT 求解器的实用介绍。 这里我们使用的是基于CDCL的完整求解器（如果有，总会在有限时间内找到解；如果没有，总是能够证明有限时间内没有解；当然内存也有作用！）。

更复杂的（线性）每瓦片评分函数通常很难合并。 这就是 (M)IP 方法可以做得更好的地方。 但就纯搜索而言，SAT 求解通常要快得多。

我的 polyomino-set 的N=25问题需要大约 1 秒（并且可以很容易地在多个粒度级别上将其并行化 -> SAT 求解器（线程参数）与外循环；后者将在后面解释）。

当然有以下几点：

• 因为这是一个 NP-hard 问题，所以会有简单和不简单的实例
• 我没有用许多不同的多米诺骨牌做科学基准测试
  • 可以预料，某些集合比其他集合更容易解决
• 这是无限多的一种可能的 SAT 公式（不是最简单的！）
  • 每种配方都有优点和缺点

主意

一般的方法是创建一个决策问题并将其转换为CNF ，然后由高效的 SAT 求解器（这里：cryptomisat；CNF 将采用DIMCAS-CNF 格式）解决，后者将用作黑盒求解器（没有参数调整！）。

由于目标是优化填充瓷砖的数量，并且我们正在使用决策问题，因此我们需要一个外循环，添加最小瓷砖使用约束并尝试解决它。 如果不成功，请减少此数字。 因此，通常我们会多次调用 SAT 求解器（从头开始！）。

可能有许多不同的公式/转换为 CNF。 在这里，我们使用（二进制）决策变量X表示位置。 一个位置是一个像polyomino, x_index, y_index这样的元组（这个索引标记了一些模式的左上角的字段）。 变量数量与所有多米诺骨牌的可能放置数量之间存在一对一的映射关系。

核心思想是：在所有可能的布局组合的空间中搜索一个解决方案，这不会使某些约束无效。

此外，我们还有决策变量Y ，它表示正在填充的图块。 有M*N这样的变量。

当可以访问所有可能的位置时，很容易为每个 tile-index (M*N) 计算碰撞集。 给定一些固定的瓷砖，我们可以检查哪些展示位置可以填充这个，并将问题限制为仅选择<=1个。 这在X上有效。 在 (M)IP 世界中，这可能被称为碰撞的凸包。

n<=k -constraints 在 SAT 求解中无处不在，许多不同的公式都是可能的。 朴素编码通常需要指数数量的子句，这很容易变得不可行。 使用新变量，有许多可能的变量条款权衡（请参阅Tseitin-encoding ）。 我正在重用一个（旧代码；我的代码仅使用 python2 的唯一原因），它在过去对我很有用。 它基于将基于硬件的反逻辑描述到 CNF 中，并提供良好的经验和理论性能（参见论文）。 当然还有很多选择。

此外，我们需要强制 SAT 求解器不要将所有变量都设为负数。 我们必须添加描述以下内容的约束（这是一种方法）：

• 如果使用了某个字段：必须至少有一个有效的放置（poly + x + y），这会导致覆盖该字段！
  • 这是一个基本的逻辑含义，很容易表述为一个潜在的大逻辑或

然后只缺少核心循环，尝试填充 N 个字段，然后 N-1 直到成功。 这再次使用前面提到的n<=k公式。

代码

这是 python2 代码，它需要运行脚本的目录中的 SAT-solver cryptominisat 5 。

我也在使用来自 python 优秀科学堆栈的工具。

# PYTHON 2!
import math
import copy
import subprocess
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt      # plotting-only
import seaborn as sns                # plotting-only
np.set_printoptions(linewidth=120)   # more nice console-output

""" Constants / Input
        Example: 5 tetrominoes; no rotation """
M, N = 25, 25
polyominos = [np.array([[1,1,1,1]]),
              np.array([[1,1],[1,1]]),
              np.array([[1,0],[1,0], [1,1]]),
              np.array([[1,0],[1,1],[0,1]]),
              np.array([[1,1,1],[0,1,0]])]

""" Preprocessing
        Calculate:
        A: possible placements
        B: covered positions
        C: collisions between placements
"""
placements = []
covered = []
for p_ind, p in enumerate(polyominos):
    mP, nP = p.shape
    for x in range(M):
        for y in range(N):
            if x + mP <= M:          # assumption: no zero rows / cols in each p
                if y + nP <= N:      # could be more efficient
                    placements.append((p_ind, x, y))
                    cover = np.zeros((M,N), dtype=bool)
                    cover[x:x+mP, y:y+nP] = p
                    covered.append(cover)                           
covered = np.array(covered)

collisions = []
for m in range(M):
    for n in range(N):
        collision_set = np.flatnonzero(covered[:, m, n])
        collisions.append(collision_set)

""" Helper-function: Cardinality constraints """
# K-ARY CONSTRAINT GENERATION
# ###########################
# SINZ, Carsten. Towards an optimal CNF encoding of boolean cardinality constraints.
# CP, 2005, 3709. Jg., S. 827-831.

def next_var_index(start):
    next_var = start
    while(True):
        yield next_var
        next_var += 1

class s_index():
    def __init__(self, start_index):
        self.firstEnvVar = start_index

    def next(self,i,j,k):
        return self.firstEnvVar + i*k +j

def gen_seq_circuit(k, input_indices, next_var_index_gen):
    cnf_string = ''
    s_index_gen = s_index(next_var_index_gen.next())

    # write clauses of first partial sum (i.e. i=0)
    cnf_string += (str(-input_indices[0]) + ' ' + str(s_index_gen.next(0,0,k)) + ' 0\n')
    for i in range(1, k):
        cnf_string += (str(-s_index_gen.next(0, i, k)) + ' 0\n')

    # write clauses for general case (i.e. 0 < i < n-1)
    for i in range(1, len(input_indices)-1):
        cnf_string += (str(-input_indices[i]) + ' ' + str(s_index_gen.next(i, 0, k)) + ' 0\n')
        cnf_string += (str(-s_index_gen.next(i-1, 0, k)) + ' ' + str(s_index_gen.next(i, 0, k)) + ' 0\n')
        for u in range(1, k):
            cnf_string += (str(-input_indices[i]) + ' ' + str(-s_index_gen.next(i-1, u-1, k)) + ' ' + str(s_index_gen.next(i, u, k)) + ' 0\n')
            cnf_string += (str(-s_index_gen.next(i-1, u, k)) + ' ' + str(s_index_gen.next(i, u, k)) + ' 0\n')
        cnf_string += (str(-input_indices[i]) + ' ' + str(-s_index_gen.next(i-1, k-1, k)) + ' 0\n')

    # last clause for last variable
    cnf_string += (str(-input_indices[-1]) + ' ' + str(-s_index_gen.next(len(input_indices)-2, k-1, k)) + ' 0\n')

    return (cnf_string, (len(input_indices)-1)*k, 2*len(input_indices)*k + len(input_indices) - 3*k - 1)

def gen_at_most_n_constraints(vars, start_var, n):
    constraint_string = ''
    used_clauses = 0
    used_vars = 0
    index_gen = next_var_index(start_var)
    circuit = gen_seq_circuit(n, vars, index_gen)
    constraint_string += circuit[0]
    used_clauses += circuit[2]
    used_vars += circuit[1]
    start_var += circuit[1]

    return [constraint_string, used_clauses, used_vars, start_var]

def parse_solution(output):
    # assumes there is one
    vars = []
    for line in output.split("\n"):
        if line:
            if line[0] == 'v':
                line_vars = list(map(lambda x: int(x), line.split()[1:]))
                vars.extend(line_vars)
    return vars

def solve(CNF):
    p = subprocess.Popen(["cryptominisat5.exe"], stdin=subprocess.PIPE, stdout=subprocess.PIPE)
    result = p.communicate(input=CNF)[0]
    sat_line = result.find('s SATISFIABLE')
    if sat_line != -1:
        # solution found!
        vars = parse_solution(result)
        return True, vars
    else:
        return False, None

""" SAT-CNF: BASE """
X = np.arange(1, len(placements)+1)                                     # decision-vars
                                                                        # 1-index for CNF
Y = np.arange(len(placements)+1, len(placements)+1 + M*N).reshape(M,N)
next_var = len(placements)+1 + M*N                                      # aux-var gen
n_clauses = 0

cnf = ''                                                                # slow string appends
                                                                        # int-based would be better
# <= 1 for each collision-set
for cset in collisions:
    constraint_string, used_clauses, used_vars, next_var = \
        gen_at_most_n_constraints(X[cset].tolist(), next_var, 1)
    n_clauses += used_clauses
    cnf += constraint_string

# if field marked: one of covering placements active
for x in range(M):
    for y in range(N):
        covering_placements = X[np.flatnonzero(covered[:, x, y])]  # could reuse collisions
        clause = str(-Y[x,y])
        for i in covering_placements:
            clause += ' ' + str(i)
        clause += ' 0\n'
        cnf += clause
        n_clauses += 1

print('BASE CNF size')
print('clauses: ', n_clauses)
print('vars: ', next_var - 1)

""" SOLVE in loop -> decrease number of placed-fields until SAT """
print('CORE LOOP')
N_FIELD_HIT = M*N
while True:
    print(' N_FIELDS >= ', N_FIELD_HIT)
    # sum(y) >= N_FIELD_HIT
    # == sum(not y) <= M*N - N_FIELD_HIT
    cnf_final = copy.copy(cnf)
    n_clauses_final = n_clauses

    if N_FIELD_HIT == M*N:  # awkward special case
        constraint_string = ''.join([str(y) + ' 0\n' for y in Y.ravel()])
        n_clauses_final += N_FIELD_HIT
    else:
        constraint_string, used_clauses, used_vars, next_var = \
            gen_at_most_n_constraints((-Y).ravel().tolist(), next_var, M*N - N_FIELD_HIT)
        n_clauses_final += used_clauses

    n_vars_final = next_var - 1
    cnf_final += constraint_string
    cnf_final = 'p cnf ' + str(n_vars_final) + ' ' + str(n_clauses) + \
        ' \n' + cnf_final  # header

    status, sol = solve(cnf_final)
    if status:
        print(' SOL found: ', N_FIELD_HIT)

        """ Print sol """
        res = np.zeros((M, N), dtype=int)
        counter = 1
        for v in sol[:X.shape[0]]:
            if v>0:
                p, x, y = placements[v-1]
                pM, pN = polyominos[p].shape
                poly_nnz = np.where(polyominos[p] != 0)
                x_inds, y_inds = x+poly_nnz[0], y+poly_nnz[1]
                res[x_inds, y_inds] = p+1
                counter += 1
        print(res)

        """ Plot """
        # very very ugly code; too lazy
        ax1 = plt.subplot2grid((5, 12), (0, 0), colspan=11, rowspan=5)
        ax_p0 = plt.subplot2grid((5, 12), (0, 11))
        ax_p1 = plt.subplot2grid((5, 12), (1, 11))
        ax_p2 = plt.subplot2grid((5, 12), (2, 11))
        ax_p3 = plt.subplot2grid((5, 12), (3, 11))
        ax_p4 = plt.subplot2grid((5, 12), (4, 11))
        ax_p0.imshow(polyominos[0] * 1, vmin=0, vmax=5)
        ax_p1.imshow(polyominos[1] * 2, vmin=0, vmax=5)
        ax_p2.imshow(polyominos[2] * 3, vmin=0, vmax=5)
        ax_p3.imshow(polyominos[3] * 4, vmin=0, vmax=5)
        ax_p4.imshow(polyominos[4] * 5, vmin=0, vmax=5)
        ax_p0.xaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())
        ax_p1.xaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())
        ax_p2.xaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())
        ax_p3.xaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())
        ax_p4.xaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())
        ax_p0.yaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())
        ax_p1.yaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())
        ax_p2.yaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())
        ax_p3.yaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())
        ax_p4.yaxis.set_major_formatter(plt.NullFormatter())

        mask = (res==0)
        sns.heatmap(res, cmap='viridis', mask=mask, cbar=False, square=True, linewidths=.1, ax=ax1)
        plt.tight_layout()
        plt.show()
        break

    N_FIELD_HIT -= 1  # binary-search could be viable in some cases
                      # but beware the empirical asymmetry in SAT-solvers:
                      #    finding solution vs. proving there is none!

输出控制台

BASE CNF size
('clauses: ', 31509)
('vars: ', 13910)
CORE LOOP
(' N_FIELDS >= ', 625)
(' N_FIELDS >= ', 624)
(' SOL found: ', 624)
[[3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2]
 [3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2]
 [3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2]
 [2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2]
 [2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2]
 [1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2]
 [1 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1]
 [2 2 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2]
 [2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2]
 [2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2]
 [2 2 1 1 1 1 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2]
 [1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]
 [2 2 3 1 1 1 1 3 2 2 3 3 4 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2]
 [2 2 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 4 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2]
 [2 2 3 3 5 5 5 3 3 1 1 1 1 4 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1]
 [2 2 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 1 2 2]
 [2 2 2 2 4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 1 1 1 2 2]
 [2 2 2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2]
 [3 4 2 2 3 5 5 5 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2]
 [3 4 4 3 3 3 5 5 5 5 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2]
 [3 3 4 3 1 1 1 1 5 1 1 1 1 4 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2]
 [2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 2 2 2 2 3 3 0 2 2]
 [2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 5 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2]
 [2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 5 5 4 1 1 1 1 2 2 2 2]
 [2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2]]

输出图

此参数化无法涵盖一个字段！

其他一些具有更大模式集的示例

Square M=N=61 （素数 -> 直觉：更难），其中 base-CNF 有 450.723 个子句和 185.462 个变量。 有一个最佳包装！

非平方M,N =83,131 （双质数），其中 base-CNF 有 1.346.511 个子句和 553.748 个变量。 有一个最佳包装！

Answer 2

一种方法可能是使用整数规划。 我将使用 python 纸浆包实现这一点，尽管包几乎可用于任何编程语言。

基本思想是为每个瓦片的每个可能的放置位置定义一个决策变量。 如果决策变量的值为 1，则将其关联的图块放置在那里。 如果它的值为 0，则它不会被放置在那里。 因此，目标是最大化决策变量的总和乘以变量图块中的方格数——这对应于在棋盘上放置尽可能多的方格。

我的代码实现了两个约束：

• 每个瓷砖只能放置一次（下面我们将放宽这个限制）
• 每个方格上最多可以有一个瓷砖

这是 4x5 网格上一组五个固定四元组的输出：

import itertools
import pulp
import string

def covered(tile, base):
    return {(base[0] + t[0], base[1] + t[1]): True for t in tile}

tiles = [[(0,0), (1,0), (0,1), (0,2)],
         [(0,0), (1,0), (2,0), (3,0)],
         [(1,0), (0,1), (1,1), (2,0)],
         [(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)],
         [(1,0), (0,1), (1,1), (2,1)]]
rows = 25
cols = 25
squares = {x: True for x in itertools.product(range(rows), range(cols))}
vars = list(itertools.product(range(rows), range(cols), range(len(tiles))))
vars = [x for x in vars if all([y in squares for y in covered(tiles[x[2]], (x[0], x[1])).keys()])]
x = pulp.LpVariable.dicts('tiles', vars, lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)
mod = pulp.LpProblem('polyominoes', pulp.LpMaximize)
# Objective value is number of squares in tile
mod += sum([len(tiles[p[2]]) * x[p] for p in vars])
# Don't use any shape more than once
for tnum in range(len(tiles)):
    mod += sum([x[p] for p in vars if p[2] == tnum]) <= 1
# Each square can be covered by at most one shape
for s in squares:
    mod += sum([x[p] for p in vars if s in covered(tiles[p[2]], (p[0], p[1]))]) <= 1
# Solve and output
mod.solve()
out = [['-'] * cols for rep in range(rows)]
chars = string.ascii_uppercase + string.ascii_lowercase
numset = 0
for p in vars:
    if x[p].value() == 1.0:
        for off in tiles[p[2]]:
            out[p[0] + off[0]][p[1] + off[1]] = chars[numset]
        numset += 1
for row in out:
    print(''.join(row))

得到如下最优解：

AAAB-
A-BBC
DDBCC
DD--C

如果我们允许重复（注释掉限制为每个形状的一个副本的约束），那么我们可以完全平铺网格：

ABCDD
ABCDD
ABCEE
ABCEE

对于 10x10 网格，它几乎可以立即工作：

ABCCDDEEFF
ABCCDDEEFF
ABGHHIJJKK
ABGHHIJJKK
LLGMMINOPP
LLGMMINOPP
QQRRSTNOUV
QQRRSTNOUV
WWXXSTYYUV
WWXXSTYYUV

该代码在 100 秒的运行时间内获得了 25x25 网格的最佳解决方案，但不幸的是，我的输出代码没有足够的字母和数字来打印解决方案。

Answer 3

我不知道它对你有没有用，但我用 Python 编写了一个小的粗略框架。 它尚未放置多项式，但功能已经存在 - 检查死空空间是原始的，但需要更好的方法。 再说一遍，也许这都是垃圾......

import functools
import itertools

M = 4 # x
N = 5 # y

field = [[9999]*(N+1)]+[[9999]+[0]*N+[9999] for _ in range(M)]+[[9999]*(N+1)]

def field_rd(p2d):
    return field[p2d[0]+1][p2d[1]+1]

def field_add(p2d,val):
    field[p2d[0]+1][p2d[1]+1] += val

def add2d(p,k):
    return p[0]+k[0],p[1]+k[1]

def norm(polymino_2d):
    x0,y0 = min(x for x,y in polymino_2d),min(y for x,y in polymino_2d)
    return tuple(sorted(map(lambda p: add2d(p,(-x0,-y0)), polymino_2d)))

def create_cutoff(occupied):
    """Receive a polymino and create the outer area of squares which could be cut off by a placement of this polymino"""
    cutoff = set(itertools.chain.from_iterable(map(lambda p: add2d(p,(x,y)),occupied) for (x,y) in [(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)])) #(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(1,1),(1,0),(1,-1)]))
    return tuple(cutoff.difference(occupied))

def is_occupied(p2d):
    return field_rd(p2d) == 0

def is_cutoff(p2d):
    return not is_occupied(p2d) and all(map(is_occupied,map(lambda p: add2d(p,p2d),[(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)])))

def polym_colliding(p2d,occupied):
    return any(map(is_occupied,map(lambda p: add2d(p,p2d),occupied)))

def polym_cutoff(p2d,cutoff):
    return any(map(is_cutoff,map(lambda p: add2d(p,p2d),cutoff)))

def put(p2d,occupied,polym_nr):
    for p in occupied:
        field_add(add2d(p2d,p),polym_nr)

def remove(p2d,occupied,polym_nr):
    for p in polym:
        field_add(add2d(p2d,p),-polym_nr)

def place(p2d,polym_nr):
    """Try to place a polymino at point p2d. If it fits without cutting off unreachable single cells return True else False"""
    occupied = polym[polym_nr][0]
    if polym_colliding(p2d,occupied):
        return False
    put(p2d,occupied,polym_nr)
    cutoff = polym[polym_nr][1]
    if polym_cutoff(p2d,cutoff):
        remove(p2d,occupied,polym_nr)
        return False
    return True

def NxM_array(N,M):
    return [[0]*N for _ in range(M)]


def generate_all_polyminos(n):
    """Create all polyminos with size n"""
    def gen_recur(polymino,i,result):
        if i > 1:
            new_pts = set(itertools.starmap(add2d,itertools.product(polymino,[(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)])))
            new_pts = new_pts.difference(polymino)
            for p in new_pts:
                gen_recur(polymino.union({p}),i-1,result)
        else:
            result.add(norm(polymino))
    #---------------------------------------
    all_polyminos = set()
    gen_recur({(0,0)},n,all_polyminos)
    return all_polyminos

print("All possible Tetris blocks (all orientations): ",generate_all_polyminos(4))