算法-如何有效地配对块

Question

可以说，我们有两个3X3的立方体，它们的单元格高度不同。 每个像元值代表该像元的高度。 例如，在下面的块1中， cell (1,1)高度为1， cell(1,2)高度为2，依此类推。

1区

1 2 3
1 3 2
3 1 2

2座

4 3 2
4 2 3
2 4 3

给两个这样的块如何高效地检查两个块是否可以以这样的方式连接：不会出现单元格不匹配的情况，两个块一起产生一个长方体 。

例如，可以连接上面的块1 +块2，结果块将是完美的长方体高度5。

5 5 5
5 5 5
5 5 5

问题的扩展 ：给定一组这样的4X4块(size >= 50K) ，如何连接成对的块并产生最大的长方体总和？ 您只能采用匹配的块全高以最大化总高度之和。 不匹配的块将被忽略。 每个像元高度最多可以为20个单位。

问题的进一步扩展 ：可以通过以下方式给出块：旋转块以与其他块配对以最大化合成的长方体高度总和。

有什么线索吗？

Answer 1

您可以分两步解决问题：（1）找到所有成对的连接块（构建一个长方体），（2）找到使总高度最大化的最佳配对。

查找连接对

为此，我将（a）为每个块构建一个表面表示，（b）通过其表面表示对哈希进行哈希处理，并且（c）通过查找连接表面模型来搜索所有连接块的每个块。

（a）建立表面模型

基本思想是通过其表面表示每个块。 为此，您只需从矩阵中的每个条目中减去矩阵中的最小条目

块1的表面表示为

1 2 3   -1   0 1 2       
1 3 2   -->  0 2 1
3 1 2        2 0 2

并且块2的表面表示为

4 3 2   -2    2 1 0
4 2 3   -->   2 0 1
2 4 3         0 2 1

（b）散列区块

现在，您可以通过块的表面表示来对块进行哈希处理

（c）寻找连接对

然后，对于每个块，通过获取表面表示中的最大值并从中减去矩阵中的条目，来计算连接表面模型，

对于块1，这将产生

    0 1 2     2 1 0     
2 - 0 2 1  =  2 0 1   
    2 0 2     0 2 0

可以使用哈希表找到具有这种表面表示形式的块（请注意，块2的表面表示形式将匹配）。

注意：当您允许轮换时，您将必须在哈希表上使用所有可能的轮换执行4个查询。

寻找最佳配对

为了找到最佳配对（最大化连接块的总和），我将使用匈牙利算法 。 为此，您将必须构建一个矩阵，其中当两个块i和j连接时，项（i，j）包含该块的高度，否则为0。

编辑

我认为通过贪婪地连接成对的匹配块（首先连接成对最高的块），可以更有效地完成第二步（寻找最佳配对）。

直觉是：当您有两个块a和b且它们都具有相同的曲面模型时。 然后它们要么都连接到另一个块c要么都不连接到c 。 考虑到这一点，在“查找连接对”步骤之后，您将最终获得成对的块组（X _i ，Y _i ），其中X _i的每个块都连接到Y _i的每个块。 如果两组X _i和Y _i的大小相等，则我们可以按照任何需要的方式进行连接，并且总得到的长方体的高度总和相同。 如果其中一组（wlog Y _i ）包含的元素较少，那么我们要避免连接到X _i中最小的块。 因此，我们可以从最大的块开始贪婪地连接，而这样做避免连接到最小的块。

因此该算法可以按以下方式工作：

1. （根据块的表面表示形式对每个块进行哈希处理。将具有相同表面表示形式的块按照其偏移量（块的高度减去表面表示形式）降序排列

2. 对于每个块，按偏移量降序处理块：搜索具有最大偏移量的连接块cBlock，连接两个块，从哈希表和处理管道中删除cBlock。

总的来说，这应该在O（n log n）中可行