Scala尾递归方法有一个除法和余数错误

Question

我目前正在通过在 Scala 中编写尾递归来计算两个自然数的二项式系数。 但是我的代码在除数方面有问题，像我一样用 k 整数除法，因为这会给你一个非零的余数，因此会引入舍入错误。 那么谁能帮我弄清楚，如何解决？

 def binom(n: Int, k: Int): Int = {
    require(0 <= k && k <= n)
    def binomtail(n: Int, k: Int, ac: Int): Int = {
      if (n == k || k == 0) ac
      else binomtail(n - 1, k - 1, (n*ac)/k)
    }
    binomtail(n,k,1)
  }

Answer 1

一般来说，它持有：

binom(n, k) = if (k == 0 || k == n) 1 else binom(n - 1, k - 1) * n / k

如果你想在线性时间内计算它，那么你必须确保每个中间结果都是一个整数。 现在，

binom(n - k + 1, 1)

当然是一个整数（它只是n - k + 1 ）。 从这个数字开始，并将两个参数都加 1，您可以通过以下中间步骤得出binom(n, k) ：

binom(n - k + 1, 1)
binom(n - k + 2, 2)
...
binom(n - 2, k - 2)
binom(n - 1, k - 1)
binom(n, k)

这意味着您必须以正确的顺序“累积”，从1到k ，而不是从k到1 - 然后保证所有中间结果对应于实际二项式系数，因此是整数（不是分数）。 这是尾递归函数的样子：

def binom(n: Int, k: Int): Int = {
  require(0 <= k && k <= n)
  @annotation.tailrec 
  def binomtail(nIter: Int, kIter: Int, ac: Int): Int = {
    if (kIter > k) ac
    else binomtail(nIter + 1, kIter + 1, (nIter * ac) / kIter)
  }
  if (k == 0 || k == n) 1
  else binomtail(n - k + 1, 1, 1)
}

小视觉测试：

val n = 12
for (i <- 0 to n) {
  print(" " * ((n - i) * 2))
  for (j <- 0 to i) {
    printf(" %3d", binom(i, j))
  }
  println()
}

印刷：

                           1
                         1   1
                       1   2   1
                     1   3   3   1
                   1   4   6   4   1
                 1   5  10  10   5   1
               1   6  15  20  15   6   1
             1   7  21  35  35  21   7   1
           1   8  28  56  70  56  28   8   1
         1   9  36  84 126 126  84  36   9   1
       1  10  45 120 210 252 210 120  45  10   1
     1  11  55 165 330 462 462 330 165  55  11   1
   1  12  66 220 495 792 924 792 495 220  66  12   1

看起来不错，如果需要，可以将其与此进行比较。

Answer 2

Andrey Tyukin 的优秀示例会因较大的 n 而失败，比如 binom(10000, 2)，但可以很容易地适应使用 BigInt。

def binom(n: Int, k: Int): BigInt = {
  require(0 <= k && k <= n)
  @annotation.tailrec 
  def binomtail(nIter: Int, kIter: Int, ac: BigInt): BigInt = {
    if (kIter > k) ac
    else binomtail(nIter + 1, kIter + 1, (nIter * ac) / kIter)
  }
  if (k == 0 || k == n) 1
  else binomtail(n - k + 1, 1, BigInt(1))
}