KMP算法和LPS表构建的运行时间

Question

我最近遇到了 KMP 算法，我花了很多时间试图理解它为什么起作用。 虽然我现在确实了解基本功能，但我只是不了解运行时计算。

我从 geeksForGeeks 网站上获取了以下代码： https ://www.geeksforgeeks.org/kmp-algorithm-for-pattern-searching/

该站点声称，如果文本大小为 O(n) 且模式大小为 O(m)，则 KMP 会在最大 O(n) 时间内计算匹配项。 它还指出可以在 O(m) 时间内计算 LPS 数组。

// C++ program for implementation of KMP pattern searching 
// algorithm 
#include <bits/stdc++.h> 

void computeLPSArray(char* pat, int M, int* lps); 

// Prints occurrences of txt[] in pat[] 
void KMPSearch(char* pat, char* txt) 
{ 
    int M = strlen(pat); 
    int N = strlen(txt); 

    // create lps[] that will hold the longest prefix suffix 
    // values for pattern 
    int lps[M]; 

    // Preprocess the pattern (calculate lps[] array) 
    computeLPSArray(pat, M, lps); 

    int i = 0; // index for txt[] 
    int j = 0; // index for pat[] 
    while (i < N) { 
        if (pat[j] == txt[i]) { 
            j++; 
            i++; 
        } 

        if (j == M) { 
            printf("Found pattern at index %d ", i - j); 
            j = lps[j - 1]; 
        } 

        // mismatch after j matches 
        else if (i < N && pat[j] != txt[i]) { 
            // Do not match lps[0..lps[j-1]] characters, 
            // they will match anyway 
            if (j != 0) 
                j = lps[j - 1]; 
            else
                i = i + 1; 
        } 
    } 
}

// Fills lps[] for given patttern pat[0..M-1] 
void computeLPSArray(char* pat, int M, int* lps) 
{ 
    // length of the previous longest prefix suffix 
    int len = 0; 

    lps[0] = 0; // lps[0] is always 0 

    // the loop calculates lps[i] for i = 1 to M-1 
    int i = 1; 
    while (i < M) { 
        if (pat[i] == pat[len]) { 
            len++; 
            lps[i] = len; 
            i++; 
        } 
        else // (pat[i] != pat[len]) 
        { 
            // This is tricky. Consider the example. 
            // AAACAAAA and i = 7. The idea is similar 
            // to search step. 
            if (len != 0) { 
                len = lps[len - 1]; 

                // Also, note that we do not increment 
                // i here 
            } 
            else // if (len == 0) 
            { 
                lps[i] = 0; 
                i++; 
            } 
        } 
    } 
} 

// Driver program to test above function 
int main() 
{ 
    char txt[] = "ABABDABACDABABCABAB"; 
    char pat[] = "ABABCABAB"; 
    KMPSearch(pat, txt); 
    return 0; 
}

我真的很困惑为什么会这样。

对于 LPS 计算，请考虑： aaaaacaaac 在这种情况下，当我们尝试为第一个 c 计算 LPS 时，我们将继续返回，直到遇到 LPS[0]，即 0 并停止。 因此，基本上，我们将至少返回模式的长度，直到该点。 如果这种情况发生多次，时间复杂度如何为 O(m)？

我对 KMP 的运行时 O(n) 有类似的困惑。

在发布之前，我已经阅读了堆栈溢出中的其他线程，以及有关该主题的各种其他站点。 我仍然很困惑。 如果有人能帮助我理解这些算法的最佳和最坏情况，以及如何使用一些示例计算它们的运行时间，我将不胜感激。 再次，请不要建议我用谷歌搜索这个，我已经完成了，花了整整一周的时间试图获得任何见解，但失败了。

Answer 1

为构建 LPS 数组建立运行时上限的一种方法是考虑一种病态情况 - 我们如何最大化必须执行 len = lps[len - 1] 的次数？ 考虑以下字符串，忽略空格：x1 x2 x1x3 x1x2x1x4 x1x2x1x3x1x2x1x5 ...

第二项需要与第一项进行比较，就好像它以 1 而不是 2 结尾一样，它将匹配第一项。 同样，第三项需要与前两项进行比较，就好像它以 1 或 2 而不是 3 结尾一样，它将匹配那些部分项。 等等。

在示例字符串中，很明显只有每 1/2^n 个字符可以匹配 n 次，因此总运行时间将为 m+m/2+m/4+..=2m=O(m)，长度模式字符串。 我怀疑构建一个运行时间比示例字符串更糟糕的字符串是不可能的，这可能会被正式证明。