Coq中的应用程序相等性证明

Question

我以这种方式有一个应用程序序列（f（f（fx））），是f的任意函数和任何应用程序编号序列。 我想证明f（xy）和（x（fy）），x =（fff ...）和y =任何值，它是相等的。 我需要以下代码中的证明：

Fixpoint r_nat {A : Type} (a : nat) : A -> (A -> A) -> A :=
  match a with
    |S n => fun (x0 : A) (a0 : A -> A) => r_nat n (a0 x0) a0
    |0 => fun (x0 : A) (_ : A -> A) => x0
  end. 


Theorem homomo_nat : forall {T} (f : T -> T) (h : T) (x : nat), (r_nat x (f h) f) = f ((r_nat x) h f) .
compute.
??.
Qed. 

我尝试展开和优化，但无法正常工作。

Answer 1

这应该可以通过对x的感应（ f的施加次数）来解决。

Answer 2

我将参数(x:nat)移到(h:T) 。 这使得归纳假设更强-它适用于所有 h 。 那么证明就是：

Theorem homomo_nat : forall {T} (f : T -> T) (x:nat) (h : T), (r_nat x (f h) f) = f ((r_nat x) h f) .
Proof.
  induction x.
  reflexivity.
  intros. apply IHx.
Qed.

如果愿意，您还可以使用策略“绕开论点”以保留原始定理intros; generalize dependent h. intros; generalize dependent h.