Haskell：了解广义代数数据类型

Question

我有以下代码，概述了布尔和算术表达式的语言：

data Exp a where
     Plus :: Exp Int -> Exp Int -> Exp Int
     Const :: (Show a) => a -> Exp a 
     Not :: Exp Bool -> Exp Bool
     And :: Exp Bool -> Exp Bool -> Exp Bool
     Greater :: Exp Int -> Exp Int -> Exp Bool

上述语言的评估函数具有以下类型：

eval :: Exp a -> a

我试图了解eval函数可以返回的可能类型是什么。 上面的代码使用GADT，这些GADT支持根据构造函数的类型签名定义Exp a类型。 构造函数的返回类型并不总是Exp a。 我相信eval可以返回的类型包括Int，Bool或实现Show的任何类型的值。 然而，有可能是eval返回除了这三个我前面提到的任何其他类型的（因为函数的返回类型是a ）？ 任何见解都表示赞赏。

Answer 1

Exp a -> a是可以具有许多可能函数的类型。 例如，一个有效的功能可能不是您认为的“ eval功能，

foo :: Exp a -> a
foo (Plus _ _) = 3
foo (Const x) = x
foo (Not _) = True
foo (And _ _) = True
foo (Greater _ _) = True

函数的图像是它可以返回的一组值。 此示例说明，尽管对所有forall a. a具有相同的返回类型，但您期望的函数foo和eval具有不同的图像forall a. a forall a. a 。

本质上，您在问的是类型为Exp a -> a的功能的所有可能图像的并集是什么。 这在很大程度上取决于Exp的实际定义。 按照当前的定义，这将是Int ， Bool和Show a => a 。

但是， Exp类型构造函数能够定义无人居住的类型。 即使您没有定义可以创建该类型的值的构造函数，也存在类型Exp (Int -> Int) 。 由于您无法为任何潜在的eval函数提供类型为Exp (Int -> Int)的值，因此它也不会影响任何此类函数的图像。

更改Exp的定义以包含此类构造函数将增加可以传递给类型为Exp a -> a的函数的值的集合，从而增加在此类函数的图像中可能出现的值的集合。

Answer 2

需要明确的是，给定上面的Exp定义，答案是“是”：任何类型签名为eval :: Exp a -> a函数只能返回Int ， Bool类型或其他类型的（已定义）值Show实例。 因为可以给任何类型（ *类型）一个Show实例，所以从技术上讲，它意味着eval可以返回任何类型，但是在具有一组固定Show实例的特定程序中， eval将仅限于从这组Show实例中返回值。类型。

您可以看到，这必须是真的，如下所示。 假设eval e为某些表达式e返回了某个固定类型t的值。 通过eval的类型签名，这意味着e必须具有类型Exp t 。 但是，数据类型声明是“封闭的”，这意味着在data Exp a声明中给出的构造函数集是穷举性的，它们代表构造Exp a类型的（定义）值的唯一方法。 从一组构造函数中可以明显看出，类型为Exp a的唯一可能值是出现在构造函数签名最右边的那些值： Exp Int ， Exp Bool和Exp a并带有约束Show a 。 因此，只有这些类型可能e这意味着t必须Int ， Bool ，或一些其他的a满足约束Show a 。

一如既往地对Haskell类型进行推理，在考虑未定义/底值时，我们必须格外小心。 如果您认为“返回一个未定义的值”是有意义的，那么，实际上， eval可以“返回”任何类型的一个未定义的值，即使没有Show实例也是如此。 例如，以下将进行类型检查：

stupid :: Exp (Int -> Int)
stupid = eval undefined

但是，如果您要问这个问题的原因是要确定您是否曾经处于过表达eval e可能意外地具有Int ， Bool或某些Show a => a以外的类型的位置，那么您将不得不处理，然后没有。 该GADT的形式放置在可能的类型限制a在签名eval :: Exp a -> a 。