Constexpr 行列式（二维 std::array）

Question

我需要编写一个在编译时计算行列式的 constexpr 函数。 最明显的解决方案是使用拉普拉斯展开式。 支持 C++14。

#include <array>
#include <utility>

constexpr int get_cofactor_coef(int i, int j) {
    return (i + j) % 2 == 0 ? 1 : -1;
}

template <int N>
constexpr int determinant(const std::array<std::array<int, N>, N>& a) {
    int det = 0;

    for (size_t i = 0u; i < N; ++i) {
        det += get_cofactor_coef(i, 1) * a[i][0] * determinant<N-1>(GET_SUBMATRIX_OF_A<N-1, I, J>(a);
    }

    return det;
}

template <>
constexpr int determinant<2>(const std::array<std::array<int, 2>, 2>& a) {
    return a[0][0] * a[1][1] - a[0][1] * a[1][0];
}

template <>
constexpr int determinant<1>(const std::array<std::array<int, 1>, 1>& a) {
    return a[0][0];
}

问题是我完全不知道如何编写GET_SUBMATRIX_OF_A 。

我知道我需要：

1. 生成一个序列（可能使用std::integer_sequence ）；
2. 从这个序列中排除第 i 行；
3. 复制除第一列（第 0 列）以外的所有内容；

我的 constexpr 技能几乎不存在。 尝试将a传递给另一个函数会导致奇怪的错误，例如 error: '* & a' is not a constant expression。

非常感谢所有帮助！

Answer 1

问题是非const std::array<T, N>::operator[] （返回T& ）直到 C++17 才不是 constexpr，这使得设置次要元素变得困难。

但是，有一个逃生舱口，即std::get<I>(std::array&)是constexpr，对结果执行指针运算是完全合法的，因此我们可以重写

a[i]  // constexpr since C++17

作为

(&std::get<0>(a))[i]  // constexpr in C++14!!

也就是说，我们使用std::get获取对数组第一个成员的 constexpr 引用，获取指向它的指针，并在指针和索引上使用内置[]运算符。

然后一个两级数组成员访问a[i][j]变得非常丑陋但仍然是 constexpr (&std::get<0>((&std::get<0>(a))[i]))[j] ，这意味着我们可以将get_submatrix_of_a写成一个普通的constexpr函数：

template<std::size_t N>
constexpr std::array<std::array<int, N - 1>, N - 1>
get_submatrix_of_a(const std::array<std::array<int, N>, N>& a, int i, int j) {
    std::array<std::array<int, N - 1>, N - 1> r{};
    for (int ii = 0; ii != N - 1; ++ii)
        for (int jj = 0; jj != N - 1; ++jj)
            (&std::get<0>(((&std::get<0>(r))[ii])))[jj] = a[ii + (ii >= i ? 1 : 0)][jj + (jj >= j ? 1 : 0)];
    return r;
}

记住const std::array<T, N>::operator[]在 C++14 中已经是constexpr ，所以我们不需要重写次要构造的 RHS。

Answer 2

这是一个示例实现。 这样做可能更短或更优雅，但这是一个起点。 实际上，我刚刚意识到您的矩阵是方形的，因此绝对可以在下面的代码中删除一些模板参数。

正如我在评论中提到的，对于 C++17 及更高版本，很可能根本不需要这些。

首先，让我们定义一些样板，让我们创建和索引序列，并保留一个值（即您要跳过的行）：

#include <utility>

// Based on https://stackoverflow.com/a/32223343.
template <size_t Offset, class T1, class T2>
struct offset_sequence_merger;

template <size_t Offset, size_t... I1, size_t... I2>
struct offset_sequence_merger<Offset, std::index_sequence<I1...>, std::index_sequence<I2...>>
  : std::index_sequence<I1..., (Offset + I2)...>
{ };

template <std::size_t Excluded, std::size_t End>
using make_excluded_index_sequence = offset_sequence_merger<Excluded + 1,
  std::make_index_sequence<Excluded>,
  std::make_index_sequence<End - Excluded - 1>>;

现在让我们用它来提取子矩阵：

#include <array>
template <class T, std::size_t N, std::size_t... Indices>
constexpr std::array<T, sizeof...(Indices)> extract_columns (
    std::array<T, N> const & source, std::index_sequence<Indices...>) {
  return { source.at(Indices)... };
}

template <class T, std::size_t N>
constexpr std::array<T, N - 1> drop_first_column (
    std::array<T, N> const & source) {
  return extract_columns(source, make_excluded_index_sequence<0, N>());
}

template <class T, std::size_t Rows, std::size_t Cols, std::size_t... RowIndices>
constexpr auto create_sub_matrix (
    std::array<std::array<T, Cols>, Rows> const & source,
    std::index_sequence<RowIndices...>) 
    -> std::array<std::array<T, Cols - 1>, sizeof...(RowIndices)> {
  return { drop_first_column(source.at(RowIndices))... };
}

template <std::size_t ExcludedRow, class T, std::size_t Rows, std::size_t Cols>
constexpr auto create_sub_matrix (
    std::array<std::array<T, Cols>, Rows> const & source)
    -> std::array<std::array<T, Cols - 1>, Rows - 1> {
  return create_sub_matrix(source,
    make_excluded_index_sequence<ExcludedRow, Rows>());
}

最后，这里有一些代码显示上面似乎做了它应该做的。 你可以在Wandbox看到它的实际效果：

#include <iostream>
#include <string>

template <class T>
void print_seq (std::integer_sequence<T> const & /* seq */) {
  std::cout << '\n';
}

template <class T, T Head, T... Tail>
void print_seq (std::integer_sequence<T, Head, Tail...> const & /* seq */) {
  std::cout << Head << ' ';
  print_seq(std::integer_sequence<T, Tail...>{});
}

template <class T, std::size_t N>
void print_array (std::array<T, N> const & src) {
  std::string sep = "";
  for (auto const & e : src) {
    std::cout << sep << e;
    sep = " ";
  }
  std::cout << '\n';
}

template <class T, std::size_t N, std::size_t M>
void print_matrix (std::array<std::array<T, N>, M> const & src) {
  for (auto const & row : src) { print_array(row); }
}

int main () {
  auto indexSeqA = make_excluded_index_sequence<0, 3>(); print_seq(indexSeqA);
  auto indexSeqB = make_excluded_index_sequence<1, 3>(); print_seq(indexSeqB);
  auto indexSeqC = make_excluded_index_sequence<2, 3>(); print_seq(indexSeqC);
  std::cout << '\n';

  std::array<int, 3> arr = { 1, 7, 9 };
  print_array(arr); std::cout << '\n';

  std::array<std::array<int, 3>, 3> matrix = {{
      { 0, 1, 2 }
    , { 3, 4, 5 }
    , { 6, 7, 8 }
  }};
  print_matrix(matrix); std::cout << '\n';

  print_matrix(create_sub_matrix<0>(matrix)); std::cout << '\n';
  print_matrix(create_sub_matrix<1>(matrix)); std::cout << '\n';
}

希望这足以帮助您完全实现determinant函数。 （PS：在调用它时不需要显式提供 size_t 模板参数给 determinant，它会自动从它的 std::array 参数的大小推导出来）。