如何在 Coq 中证明 a*b*c=a*(b*c)？

Question

我试图证明上述问题。 我得到了归纳的定义：

Definition nat_ind 
  (p : nat -> Prop)
  (basis : p 0)
  (step : forall n, p n -> p (S n)) :
    forall n, p n := fix f n :=
      match n return p n with
      | 0 => basis
      | S n => step n (f n)
      end.

这是我的尝试，但不知道如何完成

Goal forall a b c, a * b * c = a * (b * c).
Proof. 
 apply nat_ind.
  - intros a b c. revert a.
    apply (nat_ind (fun a => a * b * c = a * (b * c))); simpl.
    + reflexivity.
    + intros. f_equal. intros. 

Answer 1

在您第一次调用nat_ind之后，如果您查看您的目标，您会发现 Coq 根本没有做正确的事情！

______________________________________(1/3)
forall a b c : nat, a * b * c = a * (b * c)
______________________________________(2/3)
nat ->
(forall a b c : nat, a * b * c = a * (b * c)) ->
forall a b c : nat, a * b * c = a * (b * c)
______________________________________(3/3)
nat

这里发生的事情是它猜测了你的动机p ，并决定将它与fun (_: nat) => <YOUR_WHOLE_GOAL>统一起来，一个 function 给出任何nat都会给你的目标......是的，这很愚蠢！

推动它对 a 进行归纳的a方法是明确地强制它这样做，其中：

apply nat_ind with (n:= a)

（其中n与您的nat_ind定义中使用的名称匹配）

在此之后，您将获得更合理的目标：

______________________________________(1/2)
forall b c : nat, 0 * b * c = 0 * (b * c)
______________________________________(2/2)
forall n : nat,
(forall b c : nat, n * b * c = n * (b * c)) ->
forall b c : nat, S n * b * c = S n * (b * c)

其中确实a已分别被0和S n取代。

[编辑：我想这并不能完全回答你的问题，因为你已经通过第二次感应电话达到了相同的点......]

为了解决您的目标，拥有一个关于乘法对加法的分布的属性将有很大帮助：

forall n m p, (n + m) * p = n * p + m * p

所有这些，以及你想要证明的东西，都已经存在于 Coq 中了。 这是作业吗？ 你只是在训练吗？