使用 QuickCheck 生成单射函数？

Question

我正在使用 QuickCheck 生成任意函数，并且我想生成任意单射函数（即fa == fb当且仅当a == b时）。

我以为我已经弄清楚了：

newtype Injective = Injective (Fun Word Char) deriving Show

instance Arbitrary Injective where
  arbitrary = fmap Injective fun
    where
      fun :: Gen (Fun Word Char)
      fun = do
        a <- arbitrary
        b <- arbitrary
        arbitrary `suchThat` \(Fn f) ->
          (f a /= f b) || (a == b)

但是我看到生成的 function 将不同的输入映射到相同的 output 的情况。

我想要的是：

• f使得对于所有输入a和b ，要么f a不等于f b要么a等于b 。

我认为我有什么：

• f使得存在输入a和b ，其中f a不等于f b或a等于b 。

我怎样才能解决这个问题？

Answer 1

您已经正确识别了问题：您生成的是具有属性∃ a≠b. fa≠fb ∃ a≠b. fa≠fb （无论如何，这对于大多数随机函数来说都是正确的），而您想要的是∀ a≠b. fa≠fb ∀ a≠b. fa≠fb 。 这是一个更难确保的属性，因为您需要了解所有其他 function 值以生成每个单独的值。

我不认为这可以确保一般输入类型，但是对于单词，你可以做的是“假” function 通过按顺序预先计算所有 output 值，确保你不重复已经完成，然后从该预定图表中读取。 它需要一点懒惰才能真正让这个工作：

import qualified Data.Set as Set

newtype Injective = Injective ([Char] {- simply a list without duplicates -})
 deriving Show

instance Arbitrary Injective where
  arbitrary = Injective . lazyNub <$> arbitrary

lazyNub :: Ord a => [a] -> [a]
lazyNub = go Set.empty
 where go _ [] = []
       go forbidden (x:xs)
        | x `Set.member` forbidden  = go forbidden xs
        | otherwise                 = x : go (Set.insert x forbidden) xs

这不是很有效，并且可能不适合您的应用程序，但这可能是您能做的最好的事情。

在实践中，要实际使用Injective作为 function，您需要将值包装在一个合适的结构中，该结构只有O (log n ) 查找时间。 不幸的是， Data.Map.Lazy不够懒惰，您可能需要手工烘焙类似指数增长地图列表的东西。

还有人担心，对于一些不够大的结果类型，由于没有足够的可用值，因此不可能生成单射函数。 事实上，正如约瑟夫所说，这里就是这种情况。 在这种情况下， lazyNub function 将 go 进入无限循环。 我会说，对于 QuickCheck，这可能还可以。