在 agda 模式下与 agda 交互？

Question

和 agda 交互感觉超级别扭。

考虑证明状态：

_ = begin
  5 ∸ 3
  ≡⟨⟩
   4 ∸ 2 ≡⟨⟩
   3 ∸ 1 ≡⟨⟩
   2 ∸ 0 ≡⟨⟩  { 2 <cursor-goes-here> }0

当我输入Cc Cl ( type-check ) 时，它说

?0 : 2 ∸ 0 ≡ _y_131
_y_131 : ℕ  [ at /home/bollu/work/plfa/src/plfa/part1/Naturals.lagda.md:586,5-10 ]

这似乎不是一个很大的错误？ refine （ Cc Cr ）也没有给我一个很好的错误信息：它只告诉我：

cannot refine

1. 我如何让 adga 告诉我：

你已经完成了证明，除了缺少\\qed

2. 一般来说，构建证明时的“首选交互模式”是什么？

Answer 1

总体问题

您的帖子以以下假设开始：

和 agda 交互感觉超级别扭。

可以解释你的感觉的原因是你似乎假设 Agda 可以推断出一个术语和它的类型，换句话说，你想要证明的属性和它的证明。 Agda 通常可以做到其中之一，但要求两者都没有多大意义。 作为比较，想象一下在公园的长凳上，当一个完全陌生的人走过来坐在你旁边，一言不发。 你可以看到他很乐意问你一些事情，但是，尽管你努力让他说话，他仍然保持沉默。 几分钟后，陌生人对你大喊大叫，尽管他口渴了，但你没有给他带来预期的饮料。 在这个比喻中，陌生人就是你，而你就是阿格达。 你不可能知道他渴了，更别提给他端酒了。

具体地

您提供了以下代码：

_ = begin
  5 ∸ 3 ≡⟨⟩
  4 ∸ 2 ≡⟨⟩
  3 ∸ 1 ≡⟨⟩
  2 ∸ 0 ≡⟨⟩  { 2 <cursor-goes-here> }0

这段代码缺少类型签名，可以让 Agda 为您提供更多帮助。 Agda 通过为您提供目标的推断类型来告诉您，当您键入 check 时：

?0 : 2 ∸ 0 ≡ _y_131
_y_131 : ℕ  [ at /home/bollu/work/plfa/src/plfa/part1/Naturals.lagda.md:586,5-10 ]

这里 Agda 说你的证明目标是2 ∸ 0等于某个未知的自然数y 。 这个数字是未知的，Agda 几乎没有机会帮助您进一步进行证明工作，因为它甚至不知道您想要证明什么。 据它所知，你的目标可能是5 ∸ 3 ≡ 3因为希望不存在证明项。

回到我们的比喻，你缺少“我口渴”这句话。 如果陌生人提供了这条信息，您可能会做出反应，这意味着 Agda 可以尝试提供帮助。

解决方案

我假设您希望证明减法的结果是 2，在这种情况下，代码如下：

test : 5 ∸ 3 ≡ 2
test = begin
  5 ∸ 3 ≡⟨⟩
  4 ∸ 2 ≡⟨⟩
  3 ∸ 1 ≡⟨⟩
  2 ∸ 0 ≡⟨⟩ {!!}

在这种情况下，您可以通过多种方式与 Agda 进行交互，所有这些都导致 Agda 为您提供了一个隔音术语：

您可以调用 Agsy 为您解决问题（CTRL-c CTRL-a），这会导致：

test : 5 ∸ 3 ≡ 2
test = begin
  5 ∸ 3 ≡⟨⟩
  4 ∸ 2 ≡⟨⟩
  3 ∸ 1 ≡⟨⟩
  2 ∸ 0 ≡⟨⟩ refl

您可以尝试直接优化目标（CTRL-c CTRL-r），询问 Agda 是否存在任何具有正确类型的唯一构造函数，这会导致相同的结果：

test : 5 ∸ 3 ≡ 2
test = begin
  5 ∸ 3 ≡⟨⟩
  4 ∸ 2 ≡⟨⟩
  3 ∸ 1 ≡⟨⟩
  2 ∸ 0 ≡⟨⟩ refl

如果您想使用 \\qed 结束您的证明，您可以尝试将_∎输入到孔中，然后精炼 (CTRL-c CTRL-r) 给出：

test : 5 ∸ 3 ≡ 2
test = begin
  5 ∸ 3 ≡⟨⟩
  4 ∸ 2 ≡⟨⟩
  3 ∸ 1 ≡⟨⟩
  2 ∸ 0 ≡⟨⟩ {!!} ∎

在结果目标中调用 Agsy 自然会给出：

test : 5 ∸ 3 ≡ 2
test = begin
  5 ∸ 3 ≡⟨⟩
  4 ∸ 2 ≡⟨⟩
  3 ∸ 1 ≡⟨⟩
  2 ∸ 0 ≡⟨⟩ 2 ∎