在 C++ 中使用 long double 的奇怪结果

Question

在 C++ 中使用 long double 算术，数字50,000,056,019,485.52605438232421875 的平方产生2,500,005,601,951,690,788,240,883,712 。 同时，数字50,000,056,019,485.526050567626953125 （与第一个数字相差不到 0.001）的平方产生2,500,005,601,951,690,787,704,01 , 2,500,005,601,951,690,787,804,01的平方。 突出显示差异：

50,000,056,019,485.52605 4382324218750 ^ 2 = 2,500,005,601,951,690,78 8240883712 50,000,056,019,485.52605 0567626953125 ^ 2 = 2,500,005,601,951,690,78 7704012800

我的机器中的 Long double 范围从 ~1e-300 到 ~1e+300。 我完全理解无法表示范围内的所有数字，但我没想到会有如此大的差异。 有人可以对此有所了解吗？

Answer 1

数学

鉴于d为一个很小的值相比， a

(a+d)*(a+d) - (a)*(a)的预期差异约为2*a*d 。

这里a大约是 50,000,056,000,000.0， d大约是 0.00000381……而2*a*d大约是 381,000,000.0。 这是使用long double所见差异的long double ：536,870,912.0。

“没想到差别这么大。” 仅“关闭”小于 2 倍。鉴于正方形代表四舍五入的产品，此处看到的正方形的差异是合理的。

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一些细节：

long double

给定以下和long double作为 10 字节， a和b是连续的long double值。 它们相差 1 ULP或大约 2 ^{64 分之一}。 两个十进制代码常量都精确地保存为a, b 。

long double b = 50000056019485.526054382324218750L; // 0x1.6bcc5c9f50ec355cp+45
long double a = 50000056019485.526050567626953125L; // 0x1.6bcc5c9f50ec355ap+45
// difference
long double d =              0.000003814697265625L; // 0x0.0000000000000002p+45

a, b的平方不能用long double表示。 相反，报告的平方是四舍五入的值。 它们相差 2 ULP。

long double bb = 2500005601951690788240883712.0L; // 0x1.027e98e7c774ede8cp+91
long double aa = 2500005601951690787704012800.0L; // 0x1.027e98e7c774ede88p+91
// difference                       536870912.0 .... 0x0.00000000000000004p+91

当乘以 2 个浮点数时，乘积中的误差预计在 +/-0.5 ULP 以内。 这里的 ULP 是 5,368,70,912，实际上平方在 ​​0.5* 以内是正确的