完美正方形 - 有人可以解释以下数学吗？

Question

问题陈述：

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.

Example 1:

Input: n = 12
Output: 3 
Explanation: 12 = 4 + 4 + 4.

Example 2:

Input: n = 13
Output: 2
Explanation: 13 = 4 + 9.

使用以下有关正方形的知识（如下所示），我们可以实现以下解决方案。

自然数是...

1. ...当且仅当每个素因数在数字的素因数分解中出现偶数次方时，方格。
2. ...两个平方的和当且仅当每个 3 模 4 的素数因数在数的素数因式分解中出现偶数幂。
3. ...三个平方和当且仅当它不是具有整数 a 和 b 的 4a(8b+7) 形式。
4. ...四个平方的总和。 时期。 没有条件。 你永远不需要超过四个。

int numSquares(int n) {
    while (n % 4 == 0)
        n /= 4;
    if (n % 8 == 7)
        return 4;
    for (int a=0; a*a<=n; ++a) {
        int b = sqrt(n - a*a);
        if (a*a + b*b == n)
            return 1 + !!a;
    }
    return 3;
}

问题：

有人可以帮助我了解我们在执行 for 循环时到底要达到什么目标吗？ 我在这里有点迷路了。

for (int a=0; a*a<=n; ++a) {
    int b = sqrt(n - a*a);
    if (a*a + b*b == n)
        return 1 + !!a;
}

Answer 1

该循环试图找到两个总和为n的平方。

与其尝试每个数字组合来查看我们是否可以将它们平方并且它们加起来为n ，我们只是循环遍历其中一个数字的可能性——这是a 。 我们将其与a*a平方，然后从n中减去。 然后我们得到这个差的平方根的 integer 部分，这就是b 。 如果 a ² +b ²加起来为n ，这就是我们正在寻找的正方形对。

如果n - a*a不是完美的平方，我们需要计算平方和。 在这种情况下，它的平方根中会包含一个分数，当我们将其转换为 integer 时，它会丢失。 换句话说，测试a*a+b*b == n可以让我们确定平方根是否为 integer。