寻找 f(x) = a*min(b, x) 形式的函数最大值的算法？

Question

我有一个元组(a, b)数组，其中a > 0和b > 0 。
每个元组代表一个 function f使得f(x, a, b) = a * min(b, x) 。

对于给定的x是否有已知的算法来查找哪个元组返回最大值？
我不想评估每个 function 来检查最大值，因为我会针对不同的x查询这个数组任意次数。

例子：

array = [ (1, 10), (2, 3) ]
x < 6 -> choose (2, 3)
x = 6 (intersection point) -> either (1, 10) or (2, 3) doesn't matter
x > 6 -> choose (1, 10)

所以问题是这些元组可以按a或b排序。 但是它们之间可能有很多交叉点（如果我们将它们可视化为图形）。 所以我想避免任何 O(n^2) 排序算法来检查x的某些范围，这是最好的 function。 我的意思是我不想将每个 function 与所有其他人进行比较，以找到从哪个点x' （交点）开始，我应该选择一个。

Answer 1

假设a 、 b和查询的x总是非负数，每个查询可以在O(n*log(n)) O(log(n))时间内完成：

预处理步骤消除了严格受他人支配的此类功能。 例如，对于每个 x， (5, 10)都大于(1, 1) 。 （因此，如果数组中有(5, 10) ，那么我们可以删除(1, 1)因为它永远不会是任何 x 的最大值。）

这是一般条件：当且仅当c > a和(c*d > a*b)时，对于每个 x，A function (a, b)大于(c, d) ) 。 （这很容易证明。）

现在，我们要做的是删除存在 a (c, d)的函数(a, b)使得c > a和(c*d > a*b) 。 这可以在 O(n*log(n)) 时间内完成：

1 - 按字典顺序对元组进行排序。 我的意思是按字典顺序首先比较它们的第一个坐标，如果它们相等，然后比较第二个坐标。 例如，排序后的数组可能如下所示：

(1, 5)
(1, 17)
(2, 9)
(4, 3)
(4, 4)

2 - 以相反的顺序遍历已排序的数组，并跟踪到目前为止您遇到的a*b的最大值。 我们称这个值M 。 现在，假设我们在循环中处理的元素是(a, b) 。 如果a*b < M ，我们删除这个元素。 因为对于我们之前处理的一些(c, d) ， c > a和c*d > a*b ，因此(a, b)是无用的。 在这一步之后，示例数组将变为：

(2, 9)
(4, 4)

(4, 3)被删除，因为它被(4, 4)支配。 (1, 17)和(1, 5)被删除，因为它们由(2, 9)支配。

一旦我们去掉了所有对于任何 x 都不是最大值的函数，剩下的函数的图形将如下所示。

如图所示，每个 function 是从与前一个相交的点到与后一个相交的点的最大值。 对于上面的示例， (4, 4)和(2, 9)在x = 8处相交。 所以(4, 4)是最大值，直到x = 8 ，在那之后， (2, 9)是最大值。 我们想计算数组中连续函数相交的点，这样对于给定的 x，我们可以对这些点进行二分搜索，以找到 function 返回的最大值。

Answer 2

效率的关键是避免无用的工作。 如果您想象一棵决策树，那么修剪分支是一个经常用于此的术语。

对于您的情况，决策基于在两个函数（或参数元组）之间进行选择。 为了 select 这两个函数中的任何一个，您只需确定它们为您提供相同值的值x 。 其中一个对于较小的值表现更好，一个对于较大的值。 另外，不要忘记这部分，可能一个 function总是比另一个表现更好。 在这种情况下，可以完全删除表现较差的那个（另见上文，避免无用的工作。）。

使用这种方法，您可以将 map 从这个切换点切换到左侧的 function。 找到任意值的最佳 function 只需要找到下一个更高的切换点。

顺便说一句：确保你有单元测试。 这些东西很繁琐，尤其是浮点值和舍入错误，所以你要确保你可以运行越来越多的测试套件，以确保一个小错误修复不会破坏其他地方的东西。

Answer 3

我认为您应该先根据“b”对数组进行排序，然后再根据“a”对数组进行排序。 现在对于每个 x 只需使用二进制搜索并找到 position 从中 min(b,x) 将根据值仅给出 b 或 x。 因此，从那时起，如果 x 很小，那么 b 的所有即将到来的值然后将元组作为 t1 并且您可以使用该 function 和 b 的值来计算值，该值将小于 x 您必须遍历。 我不确定，但这就是我能想到的。

Answer 4

预处理数据后，可以在O(log(n))时间内计算出这个最大值，其中n是元组的数量(a, b) 。

首先，让我们看一个稍微简单的问题：您有一个对(c, b)的列表，并且您想要找到具有最大值的一对c ，条件是b<=x ，并且您想要为不同的x值多次执行此操作。 例如，以下列表：

 c   b
------
11  16
 8  12
 2   6
 7   9
 6  13
 4   5

有了这个列表，如果你用x=10询问， c的可用值为 2、7 和 4，最大值为 7。

让我们按b对列表进行排序：

 c   b
------
 4   5
 2   6
 7   9
 8  12
 6  13
11  16

当然，这个列表中的某些值永远无法给出答案。 例如，我们永远不能在答案中使用b=2 , c=6行，因为如果6<=x则5<=x ，所以我们可以使用c=4行来获得更好的答案。 所以我们不妨去掉列表中类似的对，即所有c的值不是迄今为止最高的对。 因此，我们将列表缩减为：

 c   b
------
 4   5
 7   9
 8  12
11  16

鉴于此列表，在b上有一个索引，很容易找到c的最大值。 您所要做的就是在列表中找到b的最大值<=x ，然后返回c的对应值。

显然，如果您更改问题以便只需要b>=x （而不是b<=x ）的值，您可以做完全相同的事情。

正确的。 那么这对您提出的问题有何帮助？

对于给定的x值，您可以将问题分成 2 个问题。 如果你能回答这两个问题，那么你就可以回答整体问题：

1. 在b<=x的(a, b)对中，哪一个给出f(x,a,b) = a*b的最高值？
2. 在b>=x的对(a, b)中，哪一个给出f(x,a,b) = a*x的最高值？

对于 (1)，简单地让每对c=a*b ，然后通过上面概述的整个索引复杂性让 go。

对于（2），让c=a并执行上面的索引操作，但翻转以执行b>=x而不是b<=x ； 当你得到a的答案时，不要忘记将它乘以x 。