精确双除法

Question

考虑以下 function：

auto f(double a, double b) -> int
{
  return std::floor(a/b);
}

所以我想计算最大的 integer k使得k * b <= a在数学意义上。 由于可能存在舍入误差，我不确定上述 function 是否真的计算了这个k 。 我不担心k可能超出范围的情况。 确定这个k的正确方法是什么？

Answer 1

除法产生 a/b，精确计算然后四舍五入为有效的双精度数。 如果 a/b >= n 则不能四舍五入到小于 n 的值。 如果 a/b < n，比如说 7.9999999999，那么它可以先验地四舍五入到 8，但是你可以证明 n 永远不是最接近的浮点数。

Answer 2

问题是浮点除法不准确。

a/b可以给出1.9999而不是2 ，然后std::floor可以给出1 。

一个简单的解决方案是在调用std::floor之前添加一个小值：

std::floor (a/b + 1.0e-10);

结果：

result = 10 while 11 was expected
With eps added, result = 11

测试代码：

#include <iostream>
#include <cmath>

int main () {
    double b = atan (1.0);
    int x = 11;
    double a = x * b;
    int y = std::floor (a/b);
    std::cout << "result = " << y << " while " << x << " was expected\n";
    
    double eps = 1.0e-10;
    int z = std::floor (a/b + eps);
    std::cout << "With eps added, result = " << z << "\n";
    
    return 0;
}