分割有理贝塞尔曲线

Question

根据某人的说法，可以通过将其控制点从 2d 投影到 3d（或从 3d 到 4d 等等）来分割有理贝塞尔曲线，用 De Casteljau 分割得到的非有理曲线，然后将两条曲线投影回 2d让他们再次变得理性。

我有这个 Shadertoy 原型，我尝试将权重直接放在 z 值的位置，然后才意识到需要在 xy 坐标上进行某种转换，以便 De Casteljau 计算的中点 (m) 与加权曲线对齐. 根据我所见，投影矩阵可以具有视野和纵横比属性。

我需要什么样的矩阵才能使点和权重正确对齐，我应该如何处理权重才能将它们转换为 z 坐标？

vec3[6] split(float[3] r, vec2[3] p, float t)
{
    vec3 a = vec3(p[0],r[0]);
    vec3 b = vec3(p[1],r[1]);
    vec3 c = vec3(p[2],r[2]);
    vec3 ab = mix(a, b, t);
    vec3 bc = mix(b, c, t);
    vec3 m = mix(ab, bc, t);
    
    vec3[3] l = vec3[3](a,ab,m);
    vec3[3] R = vec3[3](m,bc,c);
    return vec3[6](l[0],l[1],l[2],R[0],R[1],R[2]);
}

Answer 1

例如，在 2 阶中，贝塞尔曲线为 f(t) = (1-t) ² P ₀ + 2t(1-t)P ₁ + t ² P ₂

有理贝塞尔曲线是 (1-t) ² P ₀ w ₀ + 2t(1-t)P ₁ w ₁ + t ² P ₂ w ₂ / (1-t) ² w ₀ + 2t(1-t)w ₁ + t ² w ₂

如果您的透视变换将 (x,y,z) 映射到 (x/z, y/z)，那么您可以将权重直接移动到 z 坐标以获得正确的分母，但您还必须将对应点乘以使新点映射到相同的 (x,y)。

当你两者都做时，它会简化，你的新观点是：

P ₀ ' = w ₀ (P ₀ ,1)

P ₁ ' = w ₁ (P ₁ ,1)

P ₂ ' = w ₂ (P ₂ ,1)

然后，常规 3D Bezier 将在透视变换下映射到相同的 (x,y) 曲线：

f(t) = (1-t) ² P ₀ ' + 2t(1-t)P ₁ ' + t ² P ₂ '