关于 Kahn 的 BFS 算法中用于拓扑排序的时间复杂度的问题

Question

到处都写着用于拓扑排序的 Kahn 的 BFS 算法需要 O(V+E) 时间复杂度，但是如果我分解它的代码，我意识到在计算顶点的入度时，我们正在多次访问一个顶点，所以不应该TC 是 O(n^2) 吗？ 同样在我们的 while 循环中，我们不止一次访问顶点，那么 TC 怎么仍然是 O(V+E) ？

这是我的代码：

public static void sort(ArrayList<ArrayList<Integer>> adjList,int vertices){
        int[] inDegree=new int[vertices];
        for(int i=0;i<adjList.size();i++){
            for(int element : adjList.get(i)){
                inDegree[element]++;
            }
        }
        Queue<Integer> ourQueue=new LinkedList<>();
        for(int i=0;i<vertices;i++){
            if(inDegree[i]==0){
                ourQueue.add(i);
            }
        }
        while(!ourQueue.isEmpty()){
            int poppedElement=ourQueue.poll();
            System.out.print(poppedElement+" ");
            for(int element : adjList.get(poppedElement)){
                inDegree[element]--;
                if(inDegree[element]==0){
                    ourQueue.add(element);
                }
            }
        }
    }

Answer 1

在大多数图表中， |E| >> |V| . 让我们使用|E| = m |E| = m和|V| = n |V| = n 。 在连通图中，您将拥有m >= n-1 ； 在完整的图表中，您将拥有m = n*(n-1) 。 因此，对于m介于这些极端之间的“平均”图， O(m+n)看起来与O(m)和O(n*n)非常相似。

在您的实现中，您使用的是具有n*n单元的邻接矩阵； 简单地填充该矩阵已经是O(n*n) - 在第一个循环中执行的顶点度数计算也是如此。 如果您使用的是邻接列表，则不需要循环（顶点度数可以计算为每个顶点的邻接列表的长度，如果使用 ArrayList ，则为 O(1)）。 因此，实现肯定会影响运行时最坏情况的复杂性。

您评论说，一个在线编程拼图网站将您的代码列为O(V+E) 。 然而，找出一段代码复杂性的唯一实用方法（没有人工或非常复杂的自动分析，在一般情况下注定会失败）是用一组不断增加的输入来运行它。 正如我在上面所说的， O(V+E)和O(V*V)之间的差异可能相对较小。

简而言之：

• 用于算法的确切图形表示会极大地影响其运行时复杂度。 对稀疏图使用邻接列表以节省时间和内存。
• 在稠密图中， m接近n*n ，并且O(V+E) 、 O(E)和O(V*V)之间没有显着差异。
• 在线编程测验无法准确确定最坏情况下的运行时复杂度。 他们可以给你一个估计，但这只是一个经验猜测，而不是基本事实。