类型统一/函数应用程序如何在 Haskell 的高层次上工作？

Question

我觉得我并没有真正了解函数应用程序是如何工作的，或者我可能正在关注一些我不应该做的事情。

让我们尝试确定(fmap .)的类型签名

fmap :: (x -> y) -> fx -> fy

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c -- signatures taken from GHC

将fmap应用于(.) ，我们本质上想让(x -> y) -> fx -> fy和(b -> c)相等。 当我第一次尝试这样做时，我记得有一段非常艰难的时光。 您必须将一组 4 个变量与一组 2 个变量相匹配，所以显然您必须进行一些分组，但是如何？ 我看到了 3 种可能的解决方案，它们都有效吗？ 还是只有1？ 我读到编译器并没有真正考虑括号，所以我们最终得到x -> y -> fx -> fy和b -> c ，还有与右边相关的函数，所以fmap实际上应该看起来像x -> (y -> (fx -> fy)) ，这导致我

b = x

c = y -> fx -> fy

导致(a -> x) -> (a -> y -> fx -> fy)作为(fmap .)的签名。

我已经看到解决这个问题的分组是(a -> b) -> (fa -> fb) 。 所以

b = x -> y

c = fx -> fy

导致(a -> x -> y) -> a -> fx -> fy ，这与 GHC 的(a1 -> a2 -> b) -> a1 -> f a2 -> fb if 或多或少相同你重命名一些类型变量。

现在比较两个结果，去掉括号：

a -> x -> a -> y -> fx -> fy

a -> x -> y -> a -> fx -> fy

我们可以清楚地看到第 3 和第 4 个参数类型是切换的，这意味着它们显然不一样，因为flip是一个东西。 这意味着这个替换

b = x

c = y -> fx -> fy

无效。 还是我错过了什么？

我有一种感觉，当我应该反过来做时，我正试图根据签名使函数工作。 :t fmap 'c'失败， Couldn't match expected type 'a -> b' with actual type 'Char'这意味着您不能真正部分应用fmap的a -> b部分。 您只能部分应用fmap本身，我猜它的第一个参数是不可分割的。 我不知道我是否得到了这一切背后的模式。

我真的应该尝试编写一个类型化的 lambda 演算。

Answer 1

我看到了 3 种可能的解决方案，它们都有效吗？

不。

还是只有1？

只有一个。 (x -> y) -> fx -> fy等于(x -> y) -> (fx -> fy)并且仅是因为->是右结合的。 把括号放在其他点是错误的。

我读到编译器并没有真正考虑括号，

那是假的。 编译器隐含地工作，因为括号总是以右关联方式添加：类型a -> b -> c -> d仅作为a -> (b -> (c -> d))处理。 相比之下，类型(a -> b) -> c -> d仅被处理为(a -> b) -> (c -> d) ，类型(a -> b -> c) -> d仅作为(a -> (b -> c)) -> d处理。

所以我们最终得到x -> y -> fx -> fy和b -> c ，

不，那是错误的，你必须保留括号。 我们必须满足类型相等

(x -> y) -> (f x -> f y)
~
b -> c

唯一的解决方案是

b ~ (x -> y)
c ~ (f x -> f y)

正如你后来发现的那样。

要了解统一中发生了什么，我认为如果您从以右关联方式添加隐式括号开始是有益的。 如果你这样做，你可以忘记像a -> b -> c这样的类型，而只关心基本情况(T -> U)及其统一步骤：

from (T1 -> U1) ~ (T2 -> U2)
deduce T1 ~ T2 and U1 ~ U2