以下条件的正则表达式

Question

为字母表 {a,b} 定义一个正则表达式，其中非空的 a 的子序列总是偶数，b 的子序列总是奇数。

我有这样的东西，但我认为它的工作原理是表达式中 a 和 b 的数量分别为偶数和奇数，而不考虑 a 的每个子序列必须是偶数而 b 必须是奇数：

(a|b(aa|bb) (ab|ba)) (aa|bb|(ab|ba)(aa|bb) (ab|ba))*

Answer 1

我会走很长的路来回答，看看我是否明白你所做的......

我们可以为这种语言创建一个 DFA，如下所示：

       /---a---\       /---\
       |       |       |   | a,b
       V       |       V   |
----->q0--a-->q1--b-->q2---/
       |       ^       ^
       b       |       |
       |       a       |
       V       |       |
   /->q3-------/       |
   |   |               |
   |   b               |
   b   |               |
   |   V               |
   \--q4------a--------/
       

在这个 DFA 中，状态 q0 和 q3 正在接受，因为我们刚刚看到一个奇数串 b 或一个偶数串 a，我们还没有搞砸并落在 q2，我们也不需要额外的 a/b获得偶数/奇数连胜。

有了 DFA，我们可以为导致每个 state 的字符串编写一些方程式：

(q0) = e + (q1)a
(q1) = (q0)a + (q3)a
(q2) = (q1)b + (q4)a + (q2)(a+b)
(q3) = (q0)b + (q4)b
(q4) = (q3)b

我们想求解 (q0) 和 (q3)。 我们几乎可以忽略 (q2)，因为我们不关心未接受的字符串并且它对获取其他任何地方都没有帮助。

(q0) = e + (q1)a
(q1) = (q0)a + (q3)a
(q3) = (q0)b + (q4)b
(q4) = (q3)b

(q0) = e + (q1)a
(q1) = (q0)a + (q3)a
(q3) = (q0)b + (q3)bb
     = (q0)b(bb)*

(q0) = e + (q1)a
(q1) = (q0)a + (q0)b(bb)*a
     = (q0)[a + b(bb)*a]

(q0) = e + (q0)[a + b(bb)*a]a
     = e + (q0)[aa + b(bb)*aa]
     = [aa + b(bb)*aa]*

因此，正则表达式 [aa + b(bb) aa]给出指向 q0 的字符串，而 [aa + b(bb)*aa] b(bb)给出指向 q3 的字符串。 这些的联合是：

  [aa + b(bb)*aa]* + [aa + b(bb)*aa]*b(bb)*
= [aa + b(bb)*aa]*[e + b(bb)*]

这与您的表达方式不太接近，但这并不意味着您的表达方式是错误的……但我认为您的表达方式是错误的，因为如果我没看错的话，我们可以得出以下推导：

(a|b(aa|bb)(ab|ba)) (aa|bb|(ab|ba)(aa|bb)(ab|ba))*     // initial
(a|b(aa|bb)(ab|ba))                                    // take * = 0
a                                                      // choose a

而且 a 不是您想要的字符串。