正则语言在拼接和星型操作下的闭包性

Question

在我们的计算理论课程中，我们已经在交集、并集和补集下证明了正则语言（L1，L2）的闭包。 但是它们在 concatenation(L1L2) 和 star(L1*) 操作下的闭包没有完成。 如果有人能向我解释我们如何证明这两个，那就太好了。

提前致谢

Answer 1

这些事实的证据是建设性的。

令 L1 和 L2 为任意正则语言。 因为它们是常规语言，所以我们知道 L1 和 L2 的 DFA 最少； 我们分别称它们为 M1 和 M2。

要看到这些语言的连接必须是规则的，构造一个机器 M* 如下：

• M* 的状态是 M1 和 M2 的状态加在一起
• M*的字母表是M1和M2字母表的并集
• M*的首字母state是M1的首字母state
• M* 的接受状态是 M2 的接受状态
• M* 具有与 M1 和 M2 放在一起的所有相同转换，加上从 M1 中的所有接受状态到 M2 的初始 state 的空/epsilon/lambda 转换

这定义了一个 NFA-lambda（具有空/lambda/epsilon 转换的 NFA）。 我们知道这些等价于 DFA，并且所有 DFA 都可以最小化； 让我们称其为等效的最小 DFA M**。

因为 L1 和 L2 的串联存在最小 DFA，所以串联必须是规则的。

L* 的论证是相似的，其中 L 是正则的。 令 M3 为 L 的最小 DFA。然后定义 M*** 如下：

• M*** 的状态是 M3 的状态加上一个额外的 state q*
• M***的字母是M3的字母
• M***的首字母state是q*
• 接受M***的state是q*
• M*** 的转换是 M3 的转换，加上从 q* 到 M3 的接受状态 state 的空/epsilon/lambda 转换，以及从 M3 的接受状态到 q* 的空/epsilon/lambda 转换

这定义了一个接受 L* 的 NFA-lambda（具有空/epsilon/lambda 转换的 NFA）。 因为 NFA-lambda 等价于 DFA，并且 DFA 可以最小化，所以 L* 有一个最小 DFA M****。 因此，只要 L 是，L* 就必须是正则的。