圆圈碰撞

Question

我将开发一个二维球类游戏，其中两个球（圆圈）发生碰撞。 现在我遇到了确定碰撞点的问题（实际上，确定它们是否在 x 轴/y 轴上发生碰撞）。 我有一个想法，当 2 个球的 y 坐标差大于 x 坐标差时，它们会在 y 轴上发生碰撞，否则，它们会在 x 轴上发生碰撞。 我的想法对吗？ 我在我的游戏中实现了这个东西。 通常它运行良好，但有时会失败。 谁能告诉我我的想法对不对？ 如果不是，那么为什么，还有更好的方法吗？

x 轴上的碰撞是指圆的第 1、4、5 或 8 个八分圆，y 轴是指圆的第 2、3、6 或 7 个八分圆。

提前致谢！

Answer 1

圆圈之间的碰撞很容易。 想象有两个圈子：

• 具有中心（x1，y1）和半径r1的C1;
• 中心（x2，y2）和半径r2的C2。

想象一下，在这两个中心点之间有一条直线。 根据定义，从中心点到每个圆的边缘的距离等于它们各自的半径。 所以：

• 如果圆的边缘接触，则中心之间的距离为r1 + r2；
• 更远的距离，圆圈不会碰触或碰撞； 和
• 然后减少碰撞。

因此，您可以在以下情况下检测碰撞：

(x2-x1)^2 + (y1-y2)^2 <= (r1+r2)^2

表示中心点之间的距离小于半径的总和。

可以将相同原理应用于检测三维球体之间的碰撞。

编辑：如果要计算碰撞点，则可以使用一些基本的三角函数来实现。 你有一个三角形：

        (x1,y1)
        |\
        | \
        |  \ sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = r1+r2
|y2-y1| |   \
        |    \
        |   X \
(x1,y2) +------+ (x2,y2)
         |x2-x1|

表达式|x2-x1| 和|y2-y1| 是绝对值。 因此对于角度X：

        |y2 - y1|
sin X =  -------
         r1 + r2

        |x2 - x1|
cos X =  -------
         r1 + r2

        |y2 - y1|
tan X =  -------
        |x2 - x1|

一旦有了角度，就可以通过将它们应用于新三角形来计算相交点：

  +
  |\
  | \
b |  \ r2
  |   \
  |  X \
  +-----+
     a

哪里：

        a
cos X = --
        r2

所以

a = r2 cos X

根据以前的公式：

       |x2 - x1|
a = r2 -------
        r1 + r2

一旦有了a和b，就可以根据（x，y2）偏移（a，b）的方式计算碰撞点。 您甚至不需要为此计算任何正弦，余弦或反正弦或余弦。 或与此相关的任何平方根。 这样很快。

但是，如果您不需要精确的碰撞角度或碰撞点，而只想八分圆，则可以通过了解切线来进一步优化它，这是：

• 0 <= tan X <= 1表示0 <= X <= 45度;
• tan X> = 1表示45 <= X <= 90
• 0> = tan X> = -1表示0> = X => -45;
• tan X <= -1表示-45> = X => -90; 和
• 棕褐色X =棕褐色（X + 180）=棕褐色（X-180）。

这四个度范围对应于圆的四个八分圆。 其他四个偏移180度。 如上所示，正切可以简单地计算为：

        |y2 - y1|
tan X =  -------
        |x2 - x1|

失去绝对值，该比率将告诉您碰撞在四个八分之一中（通过上述切线​​范围）。 要计算出确切的八分圆，只需比较x1和x2以确定哪一个最左边。

另一个碰撞上的碰撞的八分圆是偏移的（C1上的八分圆1表示C2、2和6、3和7、4和8等上的八分圆）。

Answer 2

正如cletus所说，您想使用两个球的半径之和。 您要计算球的中心之间的总距离，如下所示：

Ball 1:  center: p1=(x1,y1)  radius: r1
Ball 2:  center: p2=(x2,y2)  radius: r2

collision distance: R= r1 + r2
actual distance:    r12= sqrt( (x2-x1)^2 + (y2-y2)^2 )

只要（r12 <R），就会发生碰撞。 正如Artelius所说，它们实际上不应在x / y轴上发生碰撞，而是以特定角度发生碰撞。 除此以外，您实际上并不想要那个角度。 您想要碰撞矢量。 这是两个圆心碰撞时的中心之间的差异：

collision vector: d12= (x2-x1,y2-y1) = (dx,dy)
actual distance:  r12= sqrt( dx*dx + dy*dy )

请注意，在计算实际距离时，您已经在上面计算了dx和dy，因此出于这种目的，您最好也可以对其进行跟踪。 您可以使用此碰撞向量来确定球的新速度-您将最终通过某些因素缩放碰撞向量，并将其添加到旧速度中……但是，要返回到实际碰撞点：

collision point:  pcollision= ( (x1*r2+x2*r1)/(r1+r2), (y1*r2+y2*r1)/(r1+r2) )

为了弄清楚如何找到球的新速度（通常从整体上讲更有意义），您可能应该找到一本高中物理书或同等学历书。 不幸的是，我不知道一个好的网络教程-建议，有人吗？

哦，如果仍然想坚持使用x / y轴，我认为您可以使用以下方法：

if( abs(dx) > abs(dy) ) then { x-axis } else { y-axis }

至于为什么它可能会失败，很难在没有更多信息的情况下知道，但是您可能会遇到一个问题，即您的球移动得太快，并且在一个时间步中彼此直传。 有一些方法可以解决此问题，但是最简单的方法是确保它们不会太快地移动...

Answer 3

该站点解释了物理原理 ， 推导了算法 ，并提供了2D球碰撞的代码 。

此函数计算以下内容后计算八分圆：碰撞点相对于物体质心的位置a； 碰撞点相对于质心a的位置

/**
This function calulates the velocities after a 2D collision vaf, vbf, waf and wbf from information about the colliding bodies
@param double e coefficient of restitution which depends on the nature of the two colliding materials
@param double ma total mass of body a
@param double mb total mass of body b
@param double Ia inertia for body a.
@param double Ib inertia for body b.
@param vector ra position of collision point relative to centre of mass of body a in absolute coordinates (if this is
                 known in local body coordinates it must be converted before this is called).
@param vector rb position of collision point relative to centre of mass of body b in absolute coordinates (if this is
                 known in local body coordinates it must be converted before this is called).
@param vector n normal to collision point, the line along which the impulse acts.
@param vector vai initial velocity of centre of mass on object a
@param vector vbi initial velocity of centre of mass on object b
@param vector wai initial angular velocity of object a
@param vector wbi initial angular velocity of object b
@param vector vaf final velocity of centre of mass on object a
@param vector vbf final velocity of centre of mass on object a
@param vector waf final angular velocity of object a
@param vector wbf final angular velocity of object b
*/
CollisionResponce(double e,double ma,double mb,matrix Ia,matrix Ib,vector ra,vector rb,vector n,
    vector vai, vector vbi, vector wai, vector wbi, vector vaf, vector vbf, vector waf, vector wbf) {
  double k=1/(ma*ma)+ 2/(ma*mb) +1/(mb*mb) - ra.x*ra.x/(ma*Ia) - rb.x*rb.x/(ma*Ib)  - ra.y*ra.y/(ma*Ia)
    - ra.y*ra.y/(mb*Ia) - ra.x*ra.x/(mb*Ia) - rb.x*rb.x/(mb*Ib) - rb.y*rb.y/(ma*Ib)
    - rb.y*rb.y/(mb*Ib) + ra.y*ra.y*rb.x*rb.x/(Ia*Ib) + ra.x*ra.x*rb.y*rb.y/(Ia*Ib) - 2*ra.x*ra.y*rb.x*rb.y/(Ia*Ib);
  double Jx = (e+1)/k * (Vai.x - Vbi.x)( 1/ma - ra.x*ra.x/Ia + 1/mb - rb.x*rb.x/Ib)
     - (e+1)/k * (Vai.y - Vbi.y) (ra.x*ra.y / Ia + rb.x*rb.y / Ib);
  double Jy = - (e+1)/k * (Vai.x - Vbi.x) (ra.x*ra.y / Ia + rb.x*rb.y / Ib)
     + (e+1)/k  * (Vai.y - Vbi.y) ( 1/ma - ra.y*ra.y/Ia + 1/mb - rb.y*rb.y/Ib);
  Vaf.x = Vai.x - Jx/Ma;
  Vaf.y = Vai.y - Jy/Ma;
  Vbf.x = Vbi.x - Jx/Mb;
  Vbf.y = Vbi.y - Jy/Mb;
  waf.x = wai.x - (Jx*ra.y - Jy*ra.x) /Ia;
  waf.y = wai.y - (Jx*ra.y - Jy*ra.x) /Ia;
  wbf.x = wbi.x - (Jx*rb.y - Jy*rb.x) /Ib;
  wbf.y = wbi.y - (Jx*rb.y - Jy*rb.x) /Ib;
}

Answer 4

它们碰撞的点在两个圆的中点之间的线上，其与任一中点的距离为相应圆的半径。

Answer 5

我同意提供的答案，它们非常好。
我只想向您指出一个小陷阱：如果球的速度很高，您可能会错过碰撞，因为在给定的步骤中，圆永远不会相交。
解决方案是求解运动方程并找到正确的碰撞时刻。

无论如何，如果您实施解决方案（在X和Y轴上进行比较），您将得到很好的老式乒乓球！ http://en.wikipedia.org/wiki/庞
:)

Answer 6

要更直接地回答您的问题：是的，根据您布置的规则和要求，如果Y的差异大于X的差异，那么这些球会在Y轴上碰撞。

如果这是您要实现的，那么您将得到对“ X或Y轴碰撞？”问题的正确答案。 但我认为您在这里获得如此多答案而似乎无法利用的原因是

• 您问的是错误的问题（不在此处-在您的程序中）； 要么

• 您没有正确使用答案。

我敢肯定，我们中的许多人都编写了弹跳球程序，而且我怀疑我们当中没有人曾尝试过根据八分圆和轴建模碰撞。 因此，我怀疑您是采用了非常原始的新方法，还是只是做错了。 因此，我建议返回并检查您的方法和假设。