在 C/C++ 中生成服从正态分布的随机数

Question

如何在 C 或 C++ 中按照正态分布轻松生成随机数？

我不想使用任何 Boost。

我知道 Knuth 详细谈到了这个问题，但我现在手头没有他的书。

Answer 1

有许多方法可以从常规 RNG 生成高斯分布数。

Box-Muller 变换是常用的。 它正确地产生具有正态分布的值。 数学很容易。 您生成两个（均匀）随机数，并通过对它们应用公式，您会得到两个正态分布的随机数。 返回一个，并将另一个保存为下一个随机数请求。

Answer 2

C++11

C++11 提供了std::normal_distribution ，这就是我今天要走的路。

C 或更旧的 C++

以下是一些按复杂度升序排列的解决方案：

1. 将 0 到 1 的 12 个均匀随机数相加并减去 6。这将匹配正态变量的均值和标准差。 一个明显的缺点是范围仅限于 ±6——与真正的正态分布不同。

2. Box-Muller 变换。 这是上面列出的，并且实现起来相对简单。 但是，如果您需要非常精确的样本，请注意 Box-Muller 变换与一些均匀生成器相结合会遇到称为 Neave Effect ¹的异常。

3. 为了获得最佳精度，我建议绘制制服并应用逆累积正态分布来获得正态分布的变量。 这是一个非常好的逆累积正态分布算法。

^{1. HR Neave，“On using the Box-Muller transform with multiplicative congruential pseudorandom number generators”，Applied Statistics, 22, 92-97, 1973}

Answer 3

一种快速简便的方法是将多个均匀分布的随机数相加并取其平均值。 请参阅中心极限定理以获取有关其工作原理的完整解释。

Answer 4

我为正态分布随机数生成基准创建了一个C++ 开源项目。

它比较了几种算法，包括

• 中心极限定理方法
• Box-Muller 变换
• 马尔萨利亚极地法
• Ziggurat算法
• 逆变换采样方法。
• cpp11random使用 C++11 std::normal_distribution和std::minstd_rand （它实际上是 clang 中的 Box-Muller 变换）。

iMac Corei5-3330S@2.70GHz , clang 6.1, 64-bit 单精度 ( float ) 版本的结果：

为了正确性，程序会验证样本的均值、标准偏差、偏度和峰度。 发现将 4、8 或 16 个均匀数相加的 CLT 方法没有其他方法那样好的峰度。

Ziggurat 算法的性能优于其他算法。 但是，它不适合 SIMD 并行，因为它需要查表和分支。 带有 SSE2/AVX 指令集的 Box-Muller 比非 SIMD 版本的 ziggurat 算法快得多（x1.79、x2.99）。

因此，我建议将 Box-Muller 用于具有 SIMD 指令集的架构，否则可能是 ziggurat。

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PS 基准测试使用最简单的 LCG PRNG 来生成均匀分布的随机数。 因此，对于某些应用程序而言，它可能是不够的。 但是性能比较应该是公平的，因为所有实现都使用相同的PRNG，所以基准测试主要测试转换的性能。

Answer 5

这是一个基于一些参考资料的 C++ 示例。 这又快又脏，你最好不要重新发明和使用 boost 库。

#include "math.h" // for RAND, and rand
double sampleNormal() {
    double u = ((double) rand() / (RAND_MAX)) * 2 - 1;
    double v = ((double) rand() / (RAND_MAX)) * 2 - 1;
    double r = u * u + v * v;
    if (r == 0 || r > 1) return sampleNormal();
    double c = sqrt(-2 * log(r) / r);
    return u * c;
}

您可以使用 QQ 图来检查结果并查看它与真实正态分布的近似程度（将您的样本排名 1..x，将排名转换为 x 总数的比例，即样本数量，获取 z 值并绘制它们。向上的直线是所需的结果）。

Answer 6

这就是在现代 C++ 编译器上生成示例的方式。

#include <random>
...
std::mt19937 generator;
double mean = 0.0;
double stddev  = 1.0;
std::normal_distribution<double> normal(mean, stddev);
cerr << "Normal: " << normal(generator) << endl;

Answer 7

使用std::tr1::normal_distribution 。

std::tr1 命名空间不是 boost 的一部分。 它是包含 C++ 技术报告 1 中添加的库的命名空间，并且在最新的 Microsoft 编译器和 gcc 中可用，独立于 boost。

Answer 8

您可以使用GSL 。 给出了一些完整的例子来演示如何使用它。

Answer 9

看看： http : //www.cplusplus.com/reference/random/normal_distribution/ 。 这是生成正态分布的最简单方法。

Answer 10

如果您使用的是 C++11，则可以使用std::normal_distribution ：

#include <random>

std::default_random_engine generator;
std::normal_distribution<double> distribution(/*mean=*/0.0, /*stddev=*/1.0);

double randomNumber = distribution(generator);

您可以使用许多其他分布来转换随机数引擎的输出。

Answer 11

我遵循了http://www.mathworks.com/help/stats/normal-distribution.html 中给出的 PDF 的定义，并提出了这个：

const double DBL_EPS_COMP = 1 - DBL_EPSILON; // DBL_EPSILON is defined in <limits.h>.
inline double RandU() {
    return DBL_EPSILON + ((double) rand()/RAND_MAX);
}
inline double RandN2(double mu, double sigma) {
    return mu + (rand()%2 ? -1.0 : 1.0)*sigma*pow(-log(DBL_EPS_COMP*RandU()), 0.5);
}
inline double RandN() {
    return RandN2(0, 1.0);
}

这可能不是最好的方法，但它很简单。

Answer 12

存在各种逆累积正态分布的算法。 量化金融中最受欢迎的测试在http://chasethedevil.github.io/post/monte-carlo-inverse-cumulative-normal-distribution/

在我看来，没有太多的动力去使用的东西比从算法AS241其他Wichura ：它是机器精度，可靠和快速。 瓶颈在高斯随机数生成中很少出现。

这里的最佳答案支持 Box-Müller，您应该意识到它存在已知缺陷。 我引用https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0895717710005935 ：

在文献中，Box-Muller 有时被认为稍逊一筹，主要有两个原因。 首先，如果将 Box-Muller 方法应用于来自不良线性同余生成器的数字，则转换后的数字会提供极差的空间覆盖。 许多书中都可以找到带有螺旋尾的变换数图，最著名的是里普利的经典著作，他可能是第一个做出这种观察的人”

Answer 13

comp.lang.c 常见问题列表分享了三种不同的方法来轻松生成具有高斯分布的随机数。

你可以看看它： http : //c-faq.com/lib/gaussian.html

Answer 14

Box-Muller 实现：

#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
using namespace std;
 // return a uniformly distributed random number
double RandomGenerator()
{
  return ( (double)(rand()) + 1. )/( (double)(RAND_MAX) + 1. );
}
 // return a normally distributed random number
double normalRandom()
{
  double y1=RandomGenerator();
  double y2=RandomGenerator();
  return cos(2*3.14*y2)*sqrt(-2.*log(y1));
}

int main(){
double sigma = 82.;
double Mi = 40.;
  for(int i=0;i<100;i++){
double x = normalRandom()*sigma+Mi;
    cout << " x = " << x << endl;
  }
  return 0;
}

Answer 15

1) 生成高斯随机数的图形直观方式是使用类似于蒙特卡罗方法的方法。 您将使用 C 语言中的伪随机数生成器在高斯曲线周围的框中生成一个随机点。您可以使用分布方程计算该点是在高斯分布的内部还是下方。 如果该点在高斯分布内，那么您将获得高斯随机数作为该点的 x 值。

这种方法并不完美，因为从技术上讲，高斯曲线趋于无穷大，并且您无法创建一个在 x 维度上接近无穷大的框。 但是高斯曲线在 y 维度上非常快地接近 0，所以我不会担心。 C 中变量大小的约束可能更多地限制了您的准确性。

2）另一种方法是使用中心极限定理，该定理指出，当添加独立的随机变量时，它们形成正态分布。 记住这个定理，你可以通过添加大量独立的随机变量来近似一个高斯随机数。

这些方法不是最实用的，但是当您不想使用预先存在的库时，这是可以预期的。 请记住，这个答案来自几乎没有或没有微积分或统计经验的人。

Answer 16

蒙特卡罗方法最直观的方法是使用蒙特卡罗方法。 取一个合适的范围-X，+X。 X 值越大，正态分布越准确，但收敛时间越长。 一种。 在 -X 到 X 之间选择一个随机数z 。 b． 保持概率为N(z, mean, variance) ，其中 N 是高斯分布。 否则放弃并返回到步骤 (a)。

Answer 17

看看我发现了什么。

该库使用 Ziggurat 算法。

Answer 18

计算机是确定性设备。 计算中没有随机性。 此外，CPU 中的算术装置可以对一些有限整数集（在有限域中进行计算）和有限实有理数集求和。 并且还进行了按位运算。 数学处理更多的大集合，如 [0.0, 1.0] 具有无限数量的点。

你可以用一些控制器听电脑内部的一些电线，但它会有均匀的分布吗？ 我不知道。 但是如果假设它的信号是累积值大量独立随机变量的结果，那么您将收到近似正态分布的随机变量（它在概率论中得到了证明）

存在称为 - 伪随机生成器的算法。 我觉得伪随机发生器的目的是模拟随机性。 goodnes 的标准是： - 经验分布收敛（在某种意义上 - 逐点，均匀，L2）到理论 - 您从随机生成器收到的值似乎是独立的。 当然，从“真实的观点”来看这不是真的，但我们假设它是真的。

一种流行的方法 - 您可以将 12 irv 与均匀分布相加......但老实说，在推导中心极限定理的过程中，借助傅立叶变换、泰勒级数，需要多次 n->+inf 假设。 因此，例如理论上 - 就我个人而言，我不理解人们如何以均匀分布执行 12 irv 的总和。

我在大学里学过概率论。 特别是对我来说，这只是一道数学题。 在大学里，我看到了以下模型：

---

double generateUniform(double a, double b)
{
  return uniformGen.generateReal(a, b);
}

double generateRelei(double sigma)
{
  return sigma * sqrt(-2 * log(1.0 - uniformGen.generateReal(0.0, 1.0 -kEps)));
}
double generateNorm(double m, double sigma)
{
  double y2 = generateUniform(0.0, 2 * kPi);
  double y1 = generateRelei(1.0);
  double x1 = y1 * cos(y2);
  return sigma*x1 + m;
}

---

这种方式如何做只是一个例子，我想它存在另一种实现方式。

可以在 Krishchenko Alexander Petrovich ISBN 5-7038-2485-0 的“Moscow, BMSTU, 2004: XVI Probability Theory, Example 6.12, p.246-247”一书中找到其正确性的证明

不幸的是，我不知道这本书是否有翻译成英文的存在。