在 Java 中测试素性的最快方法是什么？

Question

我试图找到检查给定数字是否为质数的最快方法（在 Java 中）。 下面是我想出的几种素性测试方法。 有没有比第二个实现（isPrime2）更好的方法？

public class Prime {
    public static boolean isPrime1(int n) {
        if (n <= 1) {
            return false;
        }
        if (n == 2) {
            return true;
        }
        for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n) + 1; i++) {
            if (n % i == 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    public static boolean isPrime2(int n) {
        if (n <= 1) {
            return false;
        }
        if (n == 2) {
            return true;
        }
        if (n % 2 == 0) {
            return false;
        }
        for (int i = 3; i <= Math.sqrt(n) + 1; i = i + 2) {
            if (n % i == 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

public class PrimeTest {
    public PrimeTest() {
    }
 
    @Test
    public void testIsPrime() throws IllegalArgumentException, IllegalAccessException, InvocationTargetException {
 
        Prime prime = new Prime();
        TreeMap<Long, String> methodMap = new TreeMap<Long, String>();
 
        for (Method method : Prime.class.getDeclaredMethods()) {
 
            long startTime = System.currentTimeMillis();
 
            int primeCount = 0;
            for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
                if ((Boolean) method.invoke(prime, i)) {
                    primeCount++;
                }
            }
 
            long endTime = System.currentTimeMillis();
 
            Assert.assertEquals(method.getName() + " failed ", 78498, primeCount);
            methodMap.put(endTime - startTime, method.getName());
        }
 
 
        for (Entry<Long, String> entry : methodMap.entrySet()) {
            System.out.println(entry.getValue() + " " + entry.getKey() + " Milli seconds ");
        }
    }
}

Answer 1

这是另一种方式：

boolean isPrime(long n) {
    if(n < 2) return false;
    if(n == 2 || n == 3) return true;
    if(n%2 == 0 || n%3 == 0) return false;
    long sqrtN = (long)Math.sqrt(n)+1;
    for(long i = 6L; i <= sqrtN; i += 6) {
        if(n%(i-1) == 0 || n%(i+1) == 0) return false;
    }
    return true;
}

并且BigInteger's isProbablePrime(...)对所有 32 位int都有效。

编辑

请注意， isProbablePrime(certainty)并不总是产生正确的答案。 当确定性偏低时，它会产生误报，正如评论中提到的@dimo414。

不幸的是，我找不到声称isProbablePrime(certainty)对所有（32 位） int有效的来源（如果有足够的确定性！）。

所以我进行了几次测试。 我创建了一个大小为Integer.MAX_VALUE/2的BitSet ，表示所有奇数，并使用素数筛来查找1..Integer.MAX_VALUE范围内的所有素数。 然后我从i=1..Integer.MAX_VALUE循环来测试每个new BigInteger(String.valueOf(i)).isProbablePrime(certainty) == isPrime(i) 。

对于确定性 5 和 10， isProbablePrime(...)沿线产生了误报。 但是使用isProbablePrime(15) ，没有测试失败。

这是我的测试设备：

import java.math.BigInteger;
import java.util.BitSet;

public class Main {

    static BitSet primes;

    static boolean isPrime(int p) {
        return p > 0 && (p == 2 || (p%2 != 0 && primes.get(p/2)));
    }

    static void generatePrimesUpTo(int n) {
        primes = new BitSet(n/2);

        for(int i = 0; i < primes.size(); i++) {
            primes.set(i, true);
        }

        primes.set(0, false);
        int stop = (int)Math.sqrt(n) + 1;
        int percentageDone = 0, previousPercentageDone = 0;
        System.out.println("generating primes...");
        long start = System.currentTimeMillis();

        for(int i = 0; i <= stop; i++) {
            previousPercentageDone = percentageDone;
            percentageDone = (int)((i + 1.0) / (stop / 100.0));

            if(percentageDone <= 100 && percentageDone != previousPercentageDone) {
                System.out.println(percentageDone + "%");
            }

            if(primes.get(i)) {
                int number = (i * 2) + 1;

                for(int p = number * 2; p < n; p += number) {
                    if(p < 0) break; // overflow
                    if(p%2 == 0) continue;
                    primes.set(p/2, false);
                }
            }
        }
        long elapsed = System.currentTimeMillis() - start;
        System.out.println("finished generating primes ~" + (elapsed/1000) + " seconds");
    }

    private static void test(final int certainty, final int n) {
        int percentageDone = 0, previousPercentageDone = 0;
        long start = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("testing isProbablePrime(" + certainty + ") from 1 to " + n);
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            previousPercentageDone = percentageDone;
            percentageDone = (int)((i + 1.0) / (n / 100.0));
            if(percentageDone <= 100 && percentageDone != previousPercentageDone) {
                System.out.println(percentageDone + "%");
            }
            BigInteger bigInt = new BigInteger(String.valueOf(i));
            boolean bigIntSays = bigInt.isProbablePrime(certainty);
            if(isPrime(i) != bigIntSays) {
                System.out.println("ERROR: isProbablePrime(" + certainty + ") returns "
                    + bigIntSays + " for i=" + i + " while it " + (isPrime(i) ? "is" : "isn't" ) +
                    " a prime");
                return;
            }
        }
        long elapsed = System.currentTimeMillis() - start;
        System.out.println("finished testing in ~" + ((elapsed/1000)/60) +
                " minutes, no false positive or false negative found for isProbablePrime(" + certainty + ")");
    }

    public static void main(String[] args) {
        int certainty = Integer.parseInt(args[0]);
        int n = Integer.MAX_VALUE;
        generatePrimesUpTo(n);
        test(certainty, n);
    }
}

我通过以下方式运行：

java -Xmx1024m -cp . Main 15

在我的机器上生成素数大约需要 30 秒。 而对1..Integer.MAX_VALUE中所有i的实际测试耗时大约 2 小时 15 分钟。

Answer 2

这是最优雅的方式：

public static boolean isPrime(int n) {
    return !new String(new char[n]).matches(".?|(..+?)\\1+");
}

Java 1.4+。 不需要进口。

这么短。 如此美丽。

Answer 3

您迈出了消除所有 2 的倍数的第一步。

然而，你为什么停在那里？ 您可以消除除 3 以外的所有 3 的倍数、除 5 以外的所有 5 的倍数，等等。

当你按照这个推理得出结论时，你会得到埃拉托色尼的筛子。

Answer 4

看看AKS 素性测试（及其各种优化）。 它是在多项式时间内运行的确定性素性测试。

图宾根大学（德国）这里有一个 Java 算法的实现

Answer 5

Jaeschke (1993) 提出的快速测试是 Miller-Rabin 测试的确定性版本，它没有低于 4,759,123,141 的误报，因此可以应用于 Java int s。

// Given a positive number n, find the largest number m such
// that 2^m divides n.
private static int val2(int n) {
  int m = 0;
  if ((n&0xffff) == 0) {
    n >>= 16;
    m += 16;
  }
  if ((n&0xff) == 0) {
    n >>= 8;
    m += 8;
  }
  if ((n&0xf) == 0) {
    n >>= 4;
    m += 4;
  }
  if ((n&0x3) == 0) {
    n >>= 2;
    m += 2;
  }
  if (n > 1) {
    m++;
  }
  return m;
}

// For convenience, handle modular exponentiation via BigInteger.
private static int modPow(int base, int exponent, int m) {
  BigInteger bigB = BigInteger.valueOf(base);
  BigInteger bigE = BigInteger.valueOf(exponent);
  BigInteger bigM = BigInteger.valueOf(m);
  BigInteger bigR = bigB.modPow(bigE, bigM);
  return bigR.intValue();
}

// Basic implementation.
private static boolean isStrongProbablePrime(int n, int base) {
  int s = val2(n-1);
  int d = modPow(base, n>>s, n);
  if (d == 1) {
    return true;
  }
  for (int i = 1; i < s; i++) {
    if (d+1 == n) {
      return true;
    }
    d = d*d % n;
  }
  return d+1 == n;
}

public static boolean isPrime(int n) {
  if ((n&1) == 0) {
    return n == 2;
  }
  if (n < 9) {
    return n > 1;
  }

  return isStrongProbablePrime(n, 2) && isStrongProbablePrime(n, 7) && isStrongProbablePrime(n, 61);
}

这不适用于long变量，但不同的测试有效：BPSW 测试没有高达 2^64 的反例。 这基本上包括一个像上面这样的 2-strong probable prime test，然后是一个更复杂但没有根本区别的强 Lucas 测试。

这两项测试都比任何类型的试验部门都要快得多。

Answer 6

您的算法适用于相当小的数字。 对于大数字，应使用高级算法（例如基于椭圆曲线）。 另一个想法是使用一些“伪素数”测试。 这些将快速测试一个数字是素数，但它们不是 100% 准确。 但是，与您的算法相比，它们可以帮助您更快地排除一些数字。

最后，虽然编译器可能会为你优化，但你应该写：

int max =  (int) (Math.sqrt(n) + 1);
for (int i = 3; i <= max; i = i + 2) {
}

Answer 7

如果你只是想找出一个数是否是素数，那就足够了，但如果你想找出从 0 到 na 的所有素数，更好的选择将是埃拉托色尼筛

但这将取决于 java 对数组大小等的限制。

Answer 8

我认为这个方法是最好的。 至少对于我来说-

    public static boolean isPrime(int num)
    {
        for (int i = 2; i<= num/i; i++)
        {
            if (num % i == 0)
            {
                return false;
            }
        }
        return num > 1;
    }

Answer 9

当然，有数百种素性检验，根据数量的大小、特殊形式、因子大小等各有优缺点。

但是，在 Java 中，我发现最有用的是这个：

BigInteger.valueOf(long/int num).isProbablePrime(int certainty);

它已经实现，并且速度非常快（我发现填充长 0-2^64 和确定性 15 的 1000x1000 矩阵需要大约 6 秒）并且可能比我们凡人能想出的任何东西都进行了更好的优化。

它使用了一个没有已知反例的Baillie-PSW 素性测试版本。 （虽然它可能使用稍微弱一点的测试版本，有时可能会出错。也许）

Answer 10

您所写的是大多数普通程序员所做的，并且在大多数情况下应该足够了。

但是，如果您追求“最佳科学算法”，那么http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number记录了许多变体（具有不同程度的确定性）。

例如，如果您有一个 70 位数字，JVM 的物理限制会阻止您的代码运行，在这种情况下，您可以使用“筛子”等。

再一次，就像我说的，如果这是一个编程问题或软件使用的一般问题，你的代码应该是完美的:)

Answer 11

根据您需要测试的数字的长度，您可以预先计算小值 (n < 10^6) 的素数列表，如果询问的数字在此范围内，则首先使用该列表。 这当然是最快的方式。 就像其他答案中提到的那样，Eratosthenes的筛选是生成此类预先计算列表的首选方法。

如果你的数字大于这个，你可以使用 Rabin 的素性测试。 拉宾素性检验

Answer 12

算法效率：O(n^(1/2)) 算法

注意：下面的示例代码包含计数变量并调用打印函数以打印结果：

import java.util.*;

class Primality{
    private static void printStats(int count, int n, boolean isPrime) {

        System.err.println( "Performed " + count + " checks, determined " + n
        + ( (isPrime) ? " is PRIME." : " is NOT PRIME." ) );
    }
    /**
    *   Improved O( n^(1/2)) ) Algorithm
    *    Checks if n is divisible by 2 or any odd number from 3 to sqrt(n).
    *    The only way to improve on this is to check if n is divisible by 
    *   all KNOWN PRIMES from 2 to sqrt(n).
    *
    *   @param n An integer to be checked for primality.
    *   @return true if n is prime, false if n is not prime.
    **/
    public static boolean primeBest(int n){
        int count = 0;
        // check lower boundaries on primality
        if( n == 2 ){ 
            printStats(++count, n, true);
            return true;
        } // 1 is not prime, even numbers > 2 are not prime
        else if( n == 1 || (n & 1) == 0){
            printStats(++count, n, false);
            return false;
        }

        double sqrtN = Math.sqrt(n);
        // Check for primality using odd numbers from 3 to sqrt(n)
        for(int i = 3; i <= sqrtN; i += 2){
            count++;
            // n is not prime if it is evenly divisible by some 'i' in this range
            if( n % i == 0 ){ 
                printStats(++count, n, false);
                return false;
            }
        }
        // n is prime
        printStats(++count, n, true);
        return true;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        while(scan.hasNext()) {
            int n = scan.nextInt();
            primeBest(n);
            System.out.println();
        }
        scan.close();
    }
}

当输入质数 2147483647 时，它会产生以下输出：

执行了 23170 次检查，确定 2147483647 是 PRIME。

Answer 13

我在这里优化了试验除法：它返回一个布尔值。 还需要除isPrime（n）之外的方法。

    static boolean[] smlprime = {false, false, true, true, false, true, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, true, false, false, false, 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public static boolean isPrime(long n) { //optimised
    if (n < 2) {
        return false;
    }
    if (n < smlprime.length) //less than smlprime.length do not need to be checked
    {
        return smlprime[(int) n]; //lol already checked
    }

    long[] dgt = longDigits(n);
    long ones = dgt[dgt.length - 1];
    if (ones % 2 == 0) {
        return false;
    }
    if (ones == 0 || ones == 5) {
        return false;
    }
    if (digitadd(n) % 3 == 0) {
        return false;
    }
    if (n % 7 == 0) {
        return false;
    }
    if (Square(n)) {
        return false;
    }
    long hf = (long) Math.sqrt(n);
    for (long j = 11; j < hf; j = nextProbablePrime(j)) {
        //System.out.prlongln(Math.sqrt(i));
        if (n % j == 0) {
            return false;
        }
        //System.out.prlongln("res"+res);
    }
    return true;
}

public static long nextProbablePrime(long n) {
    for (long i = n;; i++) {
        if (i % 2 != 0 && i % 3 != 0 && i % 7 != 0) {
            return i;
        }
    }
}

public static boolean Square(long n) {
    long root = (long) Math.sqrt(n);
    return root * root == n;
}

public static long[] longDigits(long n) {
    String[] a = Long.toString(n).split("(?!^)");
    long[] out = new long[a.length];
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        out[i] = Long.parseLong(a[i]);
    }
    return out;
}

public static long digitadd(long n) {
    long[] dgts = longDigits(n);
    long ans = 0;
    for (long i : dgts) {
        ans += i;
    }
    return ans;
}

Answer 14

在 Intel Atom @ 1.60GHz、2GB RAM、32 位操作系统中测试

测试结果：
Long.MAX_VALUE=9223372036854775807 以下的最大质数是 9223372036854775783
已用时间为 171499 毫秒或 2 分 51 秒

public class PrimalityTest
{
    public static void main(String[] args)
    {
        long current_local_time = System.currentTimeMillis();
        long long_number = 9223372036854775783L;
        long long_a;
        long long_b;
        if (long_number < 2)
        {
            System.out.println(long_number + " is not a prime number");
        }
        else if (long_number < 4)
        {
            System.out.println(long_number + " is a prime number");
        }
        else if (long_number % 2 == 0)
        {
            System.out.println(long_number + " is not a prime number and is divisible by 2");
        }
        else
        {
            long_a = (long) (Math.ceil(Math.sqrt(long_number)));
            terminate_loop:
            {
                for (long_b = 3; long_b <= long_a; long_b += 2)
                {
                    if (long_number % long_b == 0)
                    {
                        System.out.println(long_number + " is not a prime number and is divisible by " + long_b);
                        break terminate_loop;
                    }
                }
                System.out.println(long_number + " is a prime number");
            }
        }
        System.out.println("elapsed time: " + (System.currentTimeMillis() - current_local_time) + " millisecond/s");
    }
}

Answer 15

首先，素数从 2 开始。2 和 3 是素数。 质数不能被 2 或 3 整除。其余的质数是 6k-1 和 6k+1 的形式。 请注意，您应该检查直到 SQRT(input) 的数字。 这种方法非常有效。 我希望它有帮助。

public class Prime {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.format("%d is prime: %s.\n", 199, isPrime(199)); // Prime
        System.out.format("%d is prime: %s.\n", 198, isPrime(198)); // Not prime
        System.out.format("%d is prime: %s.\n", 104729, isPrime(104729)); // Prime
        System.out.format("%d is prime: %s.\n", 104727, isPrime(982443529)); // Prime
    }

    /**
     * Tells if a number is prime or not.
     *
     * @param input the input
     * @return If the input is prime or not
     */
    private boolean isPrime(long input) {
    if (input <= 1) return false; // Primes start from 2
    if (input <= 3) return true; // 2 and 3 are primes
    if (input % 2 == 0 || input % 3 == 0) return false; // Not prime if dividable by 2 or 3
    // The rest of the primes are in the shape of 6k-1 and 6k+1
    for (long i = 5; i <= Math.sqrt(input); i += 6) if (input % i == 0 || input % (i + 2) == 0) return false;
    return true;
    }

}

Answer 16

通常，所有大于某个原始整数C素数都具有Ck+i形式，对于i < C ，其中i和k是整数， i表示与C互质的数

这是一个C=30的例子，它应该比 Bart Kiers 对C=6回答更快，你可以通过计算C=210来改进它

boolean isPrime(long n) {
    if(n < 2){
        return false;
    }
    if(n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 7 || n == 11 || n == 13 || n == 17 || n == 19 || n == 23 || n == 29){
        return true;
    }
    
    long sqrtN = (long) Math.sqrt(n) + 1;
    int[] mods = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
    for (long i = 30L; i <= sqrtN; i += 30) {
        for (int mod : mods) {
            if(n % (i + mod) == 0){
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

Answer 17

我正在尝试找到最快的方法来检查给定数字是否为质数（在Java中）。 以下是我想到的几种素数测试方法。 有没有比第二个实现（isPrime2）更好的方法？

public class Prime {
    public static boolean isPrime1(int n) {
        if (n <= 1) {
            return false;
        }
        if (n == 2) {
            return true;
        }
        for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n) + 1; i++) {
            if (n % i == 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    public static boolean isPrime2(int n) {
        if (n <= 1) {
            return false;
        }
        if (n == 2) {
            return true;
        }
        if (n % 2 == 0) {
            return false;
        }
        for (int i = 3; i <= Math.sqrt(n) + 1; i = i + 2) {
            if (n % i == 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

public class PrimeTest {
    public PrimeTest() {
    }
 
    @Test
    public void testIsPrime() throws IllegalArgumentException, IllegalAccessException, InvocationTargetException {
 
        Prime prime = new Prime();
        TreeMap<Long, String> methodMap = new TreeMap<Long, String>();
 
        for (Method method : Prime.class.getDeclaredMethods()) {
 
            long startTime = System.currentTimeMillis();
 
            int primeCount = 0;
            for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
                if ((Boolean) method.invoke(prime, i)) {
                    primeCount++;
                }
            }
 
            long endTime = System.currentTimeMillis();
 
            Assert.assertEquals(method.getName() + " failed ", 78498, primeCount);
            methodMap.put(endTime - startTime, method.getName());
        }
 
 
        for (Entry<Long, String> entry : methodMap.entrySet()) {
            System.out.println(entry.getValue() + " " + entry.getKey() + " Milli seconds ");
        }
    }
}