在MATLAB中构造邻接矩阵

Question

考虑布置在N×M大小的网格上的一组点。 我试图建立邻接矩阵，以便相邻点连接。

例如，在带有图形的3x3网格中：

1-2-3
| | |
4-5-6
| | |
7-8-9

我们应该有相应的邻接矩阵：

+---+------------------------------------------------------+
|   |   1     2     3     4     5     6     7     8     9  |
+---+------------------------------------------------------+
| 1 |   0     1     0     1     0     0     0     0     0  |
| 2 |   1     0     1     0     1     0     0     0     0  |
| 3 |   0     1     0     0     0     1     0     0     0  |
| 4 |   1     0     0     0     1     0     1     0     0  |
| 5 |   0     1     0     1     0     1     0     1     0  |
| 6 |   0     0     1     0     1     0     0     0     1  |
| 7 |   0     0     0     1     0     0     0     1     0  |
| 8 |   0     0     0     0     1     0     1     0     1  |
| 9 |   0     0     0     0     0     1     0     1     0  |
+---+------------------------------------------------------+

另外，该解决方案应适用于4和8连接的相邻点，即：

   o             o  o  o
o  X  o   vs.    o  X  o
   o             o  o  o

这是我到目前为止的代码：

N = 3; M = 3;
adj = zeros(N*M);

for i=1:N
    for j=1:M
        k = sub2ind([N M],i,j);
        if i>1
            ii=i-1; jj=j;
            adj(k,sub2ind([N M],ii,jj)) = 1; 
        end
        if i<N
            ii=i+1; jj=j;
            adj(k,sub2ind([N M],ii,jj)) = 1; 
        end
        if j>1
            ii=i; jj=j-1;
            adj(k,sub2ind([N M],ii,jj)) = 1; 
        end
        if j<M
            ii=i; jj=j+1;
            adj(k,sub2ind([N M],ii,jj)) = 1; 
        end
    end
end

如何改进以避免所有循环？

Answer 1

如果您注意到，正在创建的邻接矩阵有一个独特的模式。 具体来说，它们是对称且带状的 。 您可以利用这个事实来轻松地使用diag函数（或spdiags函数，如果要创建稀疏矩阵）来创建矩阵。 以下是使用上面的示例矩阵作为示例的每种情况下创建邻接矩阵的方法：

4个连接的邻居：

mat = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];                 % Sample matrix
[r, c] = size(mat);                          % Get the matrix size
diagVec1 = repmat([ones(c-1, 1); 0], r, 1);  % Make the first diagonal vector
                                             %   (for horizontal connections)
diagVec1 = diagVec1(1:end-1);                % Remove the last value
diagVec2 = ones(c*(r-1), 1);                 % Make the second diagonal vector
                                             %   (for vertical connections)
adj = diag(diagVec1, 1)+diag(diagVec2, c);   % Add the diagonals to a zero matrix
adj = adj+adj.';                             % Add the matrix to a transposed copy of
                                             %   itself to make it symmetric

您将获得以下矩阵：

adj =

     0  1  0  1  0  0  0  0  0
     1  0  1  0  1  0  0  0  0
     0  1  0  0  0  1  0  0  0
     1  0  0  0  1  0  1  0  0
     0  1  0  1  0  1  0  1  0
     0  0  1  0  1  0  0  0  1
     0  0  0  1  0  0  0  1  0
     0  0  0  0  1  0  1  0  1
     0  0  0  0  0  1  0  1  0

8个相连的邻居：

mat = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];                 % Sample matrix
[r, c] = size(mat);                          % Get the matrix size
diagVec1 = repmat([ones(c-1, 1); 0], r, 1);  % Make the first diagonal vector
                                             %   (for horizontal connections)
diagVec1 = diagVec1(1:end-1);                % Remove the last value
diagVec2 = [0; diagVec1(1:(c*(r-1)))];       % Make the second diagonal vector
                                             %   (for anti-diagonal connections)
diagVec3 = ones(c*(r-1), 1);                 % Make the third diagonal vector
                                             %   (for vertical connections)
diagVec4 = diagVec2(2:end-1);                % Make the fourth diagonal vector
                                             %   (for diagonal connections)
adj = diag(diagVec1, 1)+...                  % Add the diagonals to a zero matrix
      diag(diagVec2, c-1)+...
      diag(diagVec3, c)+...
      diag(diagVec4, c+1);
adj = adj+adj.';                             % Add the matrix to a transposed copy of
                                             %   itself to make it symmetric

您将获得以下矩阵：

adj =

     0  1  0  1  1  0  0  0  0
     1  0  1  1  1  1  0  0  0
     0  1  0  0  1  1  0  0  0
     1  1  0  0  1  0  1  1  0
     1  1  1  1  0  1  1  1  1
     0  1  1  0  1  0  0  1  1
     0  0  0  1  1  0  0  1  0
     0  0  0  1  1  1  1  0  1
     0  0  0  0  1  1  0  1  0

Answer 2

只是为了好玩，这是一种通过计算网格上所有对点之间的距离来构造邻接矩阵的解决方案（显然不是最有效的方法）

N = 3; M = 3;                  %# grid size
CONNECTED = 8;                 %# 4-/8- connected points

%# which distance function
if CONNECTED == 4,     distFunc = 'cityblock';
elseif CONNECTED == 8, distFunc = 'chebychev'; end

%# compute adjacency matrix
[X Y] = meshgrid(1:N,1:M);
X = X(:); Y = Y(:);
adj = squareform( pdist([X Y], distFunc) == 1 );

这是一些代码，用于可视化邻接矩阵和连接点图：

%# plot adjacency matrix
subplot(121), spy(adj)

%# plot connected points on grid
[xx yy] = gplot(adj, [X Y]);
subplot(122), plot(xx, yy, 'ks-', 'MarkerFaceColor','r')
axis([0 N+1 0 M+1])
%# add labels
[X Y] = meshgrid(1:N,1:M);
X = reshape(X',[],1) + 0.1; Y = reshape(Y',[],1) + 0.1;
text(X, Y(end:-1:1), cellstr(num2str((1:N*M)')) )

Answer 3

我在搜索相同问题时才发现此问题。 但是，由于问题大小需要使用稀疏矩阵类型，因此所提供的解决方案都不适合我。 这是我的解决方案，适用于大规模实例：

function W = getAdjacencyMatrix(I)

[m, n] = size(I);

I_size = m*n;

% 1-off diagonal elements
V = repmat([ones(m-1,1); 0],n, 1);
V = V(1:end-1); % remove last zero

% n-off diagonal elements
U = ones(m*(n-1), 1);

% get the upper triangular part of the matrix
W = sparse(1:(I_size-1),    2:I_size, V, I_size, I_size)...
  + sparse(1:(I_size-m),(m+1):I_size, U, I_size, I_size);

% finally make W symmetric
W = W + W';

Answer 4

刚遇到这个问题。 我有一个很好的正常工作的m函数（链接： sparse_adj_matrix.m ）。

它可以处理4个连接网格（根据L1规范的半径1），8个连接网格（根据L_infty规范的半径1）。
它还可以支持3D（以及任意更高的三维网格）。
该函数还可以连接半径= 1以外的节点。

这是函数的签名：

% Construct sparse adjacency matrix (provides ii and jj indices into the
% matrix)
%
% Usage:
%   [ii jj] = sparse_adj_matrix(sz, r, p)
%
% inputs:
%   sz - grid size (determine the number of variables n=prod(sz), and the
%        geometry/dimensionality)
%   r  - the radius around each point for which edges are formed
%   p  - in what p-norm to measure the r-ball, can be 1,2 or 'inf'
%
% outputs
%   ii, jj - linear indices into adjacency matrix (for each pair (m,n)
%   there is also the pair (n,m))
%
% How to construct the adjacency matrix?
% >> A = sparse(ii, jj, ones(1,numel(ii)), prod(sz), prod(sz));
%
%
% Example:
% >> [ii jj] = sparse_adj_matrix([10 20], 1, inf);
% construct indices for 200x200 adjacency matrix for 8-connect graph over a
% grid of 10x20 nodes.
% To visualize the graph:
% >> [r c]=ndgrid(1:10,1:20);
% >> A = sparse(ii, jj, 1, 200, 200);;
% >> gplot(A, [r(:) c(:)]);

Answer 5

您当前的代码似乎还不错。 您需要一种或另一种方式遍历所有邻居对。 如果您确实需要优化代码，我建议：

• 循环遍历节点索引i，其中1 <= i <= (N*M)
• 不要使用sub2ind（）来提高效率，节点i的邻居按顺时针顺序为simpy [iM, i+1, i+M, i-1]

请注意，要获取所有邻居对节点：

• 您只需要计算i % M != 0节点的“正确”邻居（即水平边缘）（因为Matlab不是基于0而是基于1）
• 您只需要计算节点i > M “上方”邻居（即垂直边缘）
• 对角线边缘也有类似的规则

这将导致一个循环（但N * M迭代次数相同），不调用sub2ind（），并且循环中只有两个if语句。

Answer 6

对于图中的每个节点，在右侧添加一个连接，在下方添加一个连接。 检查您没有超出网格范围。 考虑以下构建邻接矩阵的函数。

function  adj = AdjMatrixLattice4( N, M )
    % Size of adjacency matrix
    MN = M*N;
    adj = zeros(MN,MN);

    % number nodes as such
    %  [1]---[2]-- .. --[M]
    %   |     |          |
    % [M+1]-[M+2]- .. -[2*M]
    %   :     :          :
    %   []    []   ..  [M*N]     

    for i=1:N
        for j=1:N
            A = M*(i-1)+j;          %Node # for (i,j) node
            if(j<N)                
                B = M*(i-1)+j+1;    %Node # for node to the right
                adj(A,B) = 1;
                adj(B,A) = 1;
            end
            if(i<M)
                B = M*i+j;          %Node # for node below
                adj(A,B) = 1;       
                adj(B,A) = 1;
            end            
        end
    end    
end

上面的示例AdjMatrixLattice4(3,3)=

 0     1     0     1     0     0     0     0     0
 1     0     1     0     1     0     0     0     0
 0     1     0     0     0     1     0     0     0
 1     0     0     0     1     0     1     0     0
 0     1     0     1     0     1     0     1     0
 0     0     1     0     1     0     0     0     1
 0     0     0     1     0     0     0     1     0
 0     0     0     0     1     0     1     0     1
 0     0     0     0     0     1     0     1     0