你是一个素数

Question

多年来，我一直对寻找更好的素数识别器的问题感兴趣。 我意识到这是一个巨大的学术研究和学习领域 - 我对此感兴趣只是为了好玩。 这是我在C（下面）中首次尝试可能的解决方案。

我的问题是，你能否提出一个改进（没有引用网上的其他参考，我正在寻找实际的C代码）？ 我想从中获得的是更好地理解确定这样的解决方案的性能复杂性。

我是否正确地得出结论，这个解决方案的复杂性是O（n ^ 2）？

#include <stdio.h>
#include <math.h>

/* isprime                                                           */
/* Test if each number in the list from stdin is prime.              */
/* Output will only print the prime numbers in the list.             */

int main(int argc, char* argv[]) {

    int returnValue = 0;
    int i;
    int ceiling;
    int input = 0;
    int factorFound = 0;

    while (scanf("%d", &input) != EOF) {

        ceiling = (int)sqrt(input);
        if (input == 1) {
            factorFound = 1;
        }

        for (i = 2; i <= ceiling; i++) {
            if (input % i == 0) {
                factorFound = 1;
            } 
        }

        if (factorFound == 0) {
            printf("%d\n", input);
        }

        factorFound = 0;    
    } 

    return returnValue;
}

Answer 1

   for (i = 2; i <= ceiling; i++) {
        if (input % i == 0) {
            factorFound = 1;
            break;
        } 
    }

这是第一个改进，仍然保持在“相同”算法的范围内。 它根本不需要任何数学就可以看到这个。

除此之外，一旦你看到input不能被2整除，就没有必要检查4,6,8等。如果任何偶数被分成input ，那么肯定会有2，因为它除了所有偶数。

如果你想稍微超出算法的范围，可以使用Sheldon L. Cooper在答案中提供的循环。 （这比让他从评论中纠正我的代码更容易，尽管他的努力非常受欢迎）

这利用了以下事实：对于某些正整数n除了2和3之外的每个素数都是n*6 + 1或n*6 - 1 6-1的形式。 要看到这一点，请注意，如果m = n*6 + 2或m = n*6 + 4 ，那么n可以被2整除。如果m = n*6 + 3则可以被3整除。

事实上，我们可以更进一步。 如果p1, p2, .., pk是第一个k素数，则所有与其产品互质的整数都标出“槽”，所有剩余的素数必须适合。

看到这一点，让k#成为所有素数的产物，直到pk 。 那么如果gcd(k#, m) = g ，则g除n*k# + m ，因此如果g != 1则该和是非常复合的。 所以如果你想用5# = 30进行迭代，那么你的互质整数分别是1,7,11,13,17,19,23和29。

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从技术上讲，我没有证明我的最后一个主张。 这并不困难

如果g = gcd(k#, m) ，那么对于任何整数， n ， g除n*k# + m因为它除了k#所以它也必须除n*k# 。 但它也将m分开，所以它必须除以总和。 上面我只证明了n = 1 。 我的错。

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另外，我应该注意到，这一切都没有改变算法的基本复杂性，它仍然是O（n ^ 1/2）。 它所做的只是大幅减少用于计算实际预期运行时间的系数。

Answer 2

算法中每个素性测试的时间复杂度为O(sqrt(n)) 。

您总是可以使用以下事实：除2和3之外的所有素数都是以下形式： 6*k+1或6*k-1 。 例如：

int is_prime(int n) {
  if (n <= 1) return 0;
  if (n == 2 || n == 3) return 1;
  if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return 0;
  int k;
  for (k = 6; (k-1)*(k-1) <= n; k += 6) {
    if (n % (k-1) == 0 || n % (k+1) == 0) return 0;
  }
  return 1;
}

此优化不会改善渐近复杂度。

编辑

鉴于您在代码中反复测试数字，您可能需要预先计算素数列表。 只有4792个素数小于或等于INT_MAX的平方根（假设为32位整数）。

此外，如果输入数字相对较小，您可以尝试计算筛子 。

以下是两种想法的组合：

#define UPPER_BOUND 46340  /* floor(sqrt(INT_MAX)) */
#define PRIME_COUNT 4792  /* number of primes <= UPPER_BOUND */

int prime[PRIME_COUNT];
int is_prime_aux[UPPER_BOUND];

void fill_primes() {
  int p, m, c = 0;
  for (p = 2; p < UPPER_BOUND; p++)
    is_prime_aux[p] = 1;
  for (p = 2; p < UPPER_BOUND; p++) {
    if (is_prime_aux[p]) {
      prime[c++] = p;
      for (m = p*p; m < UPPER_BOUND; m += p)
        is_prime_aux[m] = 0;
    }
  }
}

int is_prime(int n) {
  if (n <= 1) return 0;
  if (n < UPPER_BOUND) return is_prime_aux[n];
  int i;
  for (i = 0; i < PRIME_COUNT && prime[i]*prime[i] <= n; i++)
    if (n % prime[i] == 0)
      return 0;
  return 1;
}

在开始处理查询之前，在程序开头调用fill_primes 。 它运行得非常快。

Answer 3

那里的代码只有复杂度O（sqrt（n）lg（n））。 如果你假设基本的数学运算是O（1）（直到你开始使用bignums为真），那么它只是O（sqrt（n））。

注意，素数测试可以在比O（sqrt（n）lg（n））更快的时间内执行。 该站点具有许多AKS素性测试的实现，已经证明它在O（（log n）^ 12）时间内运行。

还有一些非常非常快速的probalistic测试 - 虽然速度很快，但它们有时会给出错误的结果。 例如， 费马素性测试 ：

给定一个数p我们想测试素数，选择一个随机数a ，并测试a^(p-1) mod p = 1 。 如果为假，则p绝对不是素数。 如果为真， p 可能是素数。 通过重复用的不同的随机值测试a ，假阳性的概率可被减少。

请注意，此特定测试有一些缺陷 - 有关详细信息，请参阅Wikipedia页面，以及您可以使用的其他概率素性测试。

如果你想坚持使用当前的方法，仍然可以进行一些小的改进 - 正如其他人指出的那样，在2之后，所有其他的素数都是奇数，所以你可以一次跳过两个潜在的因素。环。 当您找到一个因素时，您也可以立即突破。 但是，这并不会改变算法的渐近最坏情况行为，它保持在O（sqrt（n）lg（n）） - 它只是改变最佳情况（到O（lg（n））），并且将常数因子减少大约一半。

Answer 4

一个简单的改进是在找到一个因子时将for循环更改为break：

   for (i = 2; i <= ceiling && !factorFound; i++) {
        if (input % i == 0) {
            factorFound = 1;

另一种可能性是将计数器增加2（在检查2本身之后）。

Answer 5

你能建议改进吗？

在这里你去...不是算法，而是程序本身:)

• 如果你不打算使用argc和argv ，那就去掉它们吧
• 如果输入“fortytwo”怎么办？ 比较scanf（） == 1 ，而不是!= EOF
• 无需sqrt()的值
• 不需要returnValue ，可以返回一个常量： return 0;
• 而不是将所有功能都放在main()函数中，而是将程序与您能想到的功能分开。

Answer 6

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int IsPrime (int n) {
  int i, sqrtN;
  if (n < 2) { return 0; } /* 1, 0, and negatives are nonprime */
  if (n == 2) { return 2; }
  if ((n % 2) == 0) { return 0; } /* Check for even numbers */
  sqrtN = sqrt((double)n)+1; /* We don't need to search all the way up to n */
  for (i = 3; i < sqrtN; i += 2) {
    if (n % i == 0) { return 0; } /* Stop, because we found a factor! */
  }
  return n;
}

int main()
{
  int n;
  printf("Enter a positive integer: ");
  scanf("%d",&n);
  if(IsPrime(n))
     printf("%d is a prime number.",n);
  else
     printf("%d is not a prime number.",n);
  return 0;
}

Answer 7

偶数（2除外）不能是素数。 所以，一旦我们知道数字不均匀，我们就可以检查奇数是否是它的因素。

for (i = 3; i <= ceiling; i += 2) {
        if (input % i == 0) {
            factorFound = 1;
            break;
        } 
    }

Answer 8

您可以对算法进行小幅削减，而不会增加太多的代码复杂性。 例如，您可以跳过验证中的偶数，并在找到因素后立即停止搜索。

if (input < 2 || (input != 2 && input % 2 == 0))
  factorFound = 1;

if (input > 3)
  for (i = 3; i <= ceiling && !factorFound; i += 2)
    if (input % i == 0)
      factorFound = 1;

关于复杂性，如果n是您的输入数字，那么复杂性不是O（sqrt（n）），因为您大致在大多数sqrt（n）分区和比较中进行？

Answer 9

程序的时间复杂度为O(n*m^0.5) 。 用n表示输入中的素数。 并且m是输入中最大素数的大小，如果您愿意，则为MAX_INT 。 所以复杂性也可以写成O(n)其中n要检查的素数。

对于Big-O， n （通常）是输入的大小，在您的情况下，将是要检查的素数。 如果我将这个列表的两倍大（例如重复它），它将花费（+ - ）两倍的长度，因此O(n) 。

Answer 10

这是我的算法，Complexity仍为O(n^0.5)但我设法删除代码中的一些昂贵的操作......

算法最慢的部分是modulus运算，我设法消除sqrt或做i * i <= n

这样我就节省了宝贵的周期......它基于sum of odd numbers is always a perfect square.

既然我们正在迭代odd numbers ，为什么不利用它呢？ :)

int isPrime(int n)
{
    int squares = 1;
    int odd = 3;

    if( ((n & 1) == 0) || (n < 9)) return (n == 2) || ((n > 1) && (n & 1));
    else
    {
        for( ;squares <= n; odd += 2)
        {
            if( n % odd == 0) 
                return 0;
            squares+=odd;
        }
        return 1;
    }
}

Answer 11

没有办法改进算法。 可能有很小的方法来改进您的代码，但不是算法的基本速度（和复杂性）。

编辑：当然，因为他不需要知道所有因素，只要它是否是素数。 好点。