证明 n! = O(n^n)

Question

我如何证明 n! = O(n^n)?

Answer 1

我假设你想证明函数n! 是集合O(n^n)的一个元素。 这可以很容易地证明：

定义：函数f(n)是集合O(g(n))的元素，如果存在c>0使得存在m使得对于所有k>m我们有f(k)<=c*g(k) 。

所以，我们必须比较n! 反对n^n 。 让我们一个接一个地写：

n!  = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * 3 * 2 * 1
n^n = n *  n    *  n    *  n    * ... * n * n * n

如您所见，第一行 ( n! ) 和第二行 ( n^n ) 在右侧都有n项目。 如果我们比较这些项目，我们会看到每个项目最多与第二行中的对应项目一样大。 因此n! <= n^n n! <= n^n 。

所以，我们可以 - 查看定义 - 说，存在c=1使得存在m=5使得对于所有k>5我们有那个k! < k^k k! < k^k ，这证明了n! 确实是O(n^n)的一个元素。