如何在MATLAB中标准化直方图？

Question

如何对直方图进行归一化，以使概率密度函数下的面积等于1？

Answer 1

我对此的回答与您对先前问题的回答相同。 对于概率密度函数， 整个空间的积分为1 。 除以总和不会得到正确的密度。 为了获得正确的密度，必须除以面积。 为了说明我的观点，请尝试以下示例。

[f, x] = hist(randn(10000, 1), 50); % Create histogram from a normal distribution.
g = 1 / sqrt(2 * pi) * exp(-0.5 * x .^ 2); % pdf of the normal distribution

% METHOD 1: DIVIDE BY SUM
figure(1)
bar(x, f / sum(f)); hold on
plot(x, g, 'r'); hold off

% METHOD 2: DIVIDE BY AREA
figure(2)
bar(x, f / trapz(x, f)); hold on
plot(x, g, 'r'); hold off

您可以自己查看哪种方法与正确答案（红色曲线）相符。

标准化直方图的另一种方法（比方法2更直接）是除以sum(f * dx) ，它表示概率密度函数的积分，即

% METHOD 3: DIVIDE BY AREA USING sum()
figure(3)
dx = diff(x(1:2))
bar(x, f / sum(f * dx)); hold on
plot(x, g, 'r'); hold off

Answer 2

自2014b起，Matlab将这些归一化例程本机嵌入在histogram函数中（有关此函数提供的6个例程，请参阅帮助文件 ）。 这是一个使用PDF归一化的示例（所有bin的总和为1）。

data = 2*randn(5000,1) + 5;             % generate normal random (m=5, std=2)
h = histogram(data,'Normalization','pdf')   % PDF normalization

对应的PDF是

Nbins = h.NumBins;
edges = h.BinEdges; 
x = zeros(1,Nbins);
for counter=1:Nbins
    midPointShift = abs(edges(counter)-edges(counter+1))/2;
    x(counter) = edges(counter)+midPointShift;
end

mu = mean(data);
sigma = std(data);

f = exp(-(x-mu).^2./(2*sigma^2))./(sigma*sqrt(2*pi));

两者一起给

hold on;
plot(x,f,'LineWidth',1.5)

改进很可能归因于实际问题和接受的答案的成功！

---

编辑-现在不建议使用hist和histc ，而应使用histogram 。 请注意，使用此新功能创建垃圾箱的6种方法均不会产生垃圾箱hist和histc垃圾箱。 有一个Matlab脚本可以更新以前的代码，以适应histogram的调用方式（bin边而不是bin中心-link ）。 这样一来，可以比较 @abcd（ trapz和sum ）和Matlab（ pdf ） 的pdf归一化方法 。

3 pdf归一化方法给出的结果几乎相同（在eps范围内） 。

测试：

A = randn(10000,1);
centers = -6:0.5:6;
d = diff(centers)/2;
edges = [centers(1)-d(1), centers(1:end-1)+d, centers(end)+d(end)];
edges(2:end) = edges(2:end)+eps(edges(2:end));

figure;
subplot(2,2,1);
hist(A,centers);
title('HIST not normalized');

subplot(2,2,2);
h = histogram(A,edges);
title('HISTOGRAM not normalized');

subplot(2,2,3)
[counts, centers] = hist(A,centers); %get the count with hist
bar(centers,counts/trapz(centers,counts))
title('HIST with PDF normalization');


subplot(2,2,4)
h = histogram(A,edges,'Normalization','pdf')
title('HISTOGRAM with PDF normalization');

dx = diff(centers(1:2))
normalization_difference_trapz = abs(counts/trapz(centers,counts) - h.Values);
normalization_difference_sum = abs(counts/sum(counts*dx) - h.Values);

max(normalization_difference_trapz)
max(normalization_difference_sum)

新的PDF规范化与以前的规范化之间的最大差是5.5511e-17。

Answer 3

hist不仅可以绘制直方图，还可以向您返回每个bin中的元素计数，因此您可以获取该计数，将每个bin除以总数，然后使用bar绘制结果，将其标​​准化。 例：

Y = rand(10,1);
C = hist(Y);
C = C ./ sum(C);
bar(C)

或者如果您想要单线：

bar(hist(Y) ./ sum(hist(Y)))

说明文件：

• 历史
• 酒吧

编辑：此解决方案回答了问题： 如何使所有垃圾箱的总和等于1 。 仅当bin大小相对于数据方差较小时，这种近似才有效。 此处使用的总和对应于一个简单的正交公式，可以使用更复杂的公式，例如RM建议的trapz

Answer 4

[f,x]=hist(data)

每个单独的条的面积是高度*宽度。 由于MATLAB将为条形图选择等距点，因此宽度为：

delta_x = x(2) - x(1)

现在，如果我们汇总所有单个条，则总面积将为

A=sum(f)*delta_x

因此，正确缩放的图可以通过

bar(x, f/sum(f)/(x(2)-x(1)))

Answer 5

abcd的PDF区域不全，就像许多评论所指出的那样，这是不可能的。 这里的许多答案中的假设

1. 假设连续边之间的距离恒定。
2. pdf下的概率应为1。在histogram（）和hist（）中，归一化应以probability进行Normalization ，而不是pdf Normalization 。

图1 hist（）方法的输出，图2 histogram（）方法的输出

两种方法之间的最大幅度不同，这表明hist（）的方法存在一些错误，因为histogram（）的方法使用标准归一化。 我认为这里hist（）方法的错误是关于规范化的部分pdf ，而不是完全的probability 。

使用hist（）的代码[不建议使用]

一些评论

1. 第一次检查：如果手动设置了Nbins sum(f)/N为1 。
2. pdf需要图g bin的宽度（ dx ）

码

%http://stackoverflow.com/a/5321546/54964
N=10000;
Nbins=50;
[f,x]=hist(randn(N,1),Nbins); % create histogram from ND

%METHOD 4: Count Densities, not Sums!
figure(3)
dx=diff(x(1:2)); % width of bin
g=1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*x.^2) .* dx; % pdf of ND with dx
% 1.0000
bar(x, f/sum(f));hold on
plot(x,g,'r');hold off

输出如图1所示。

带直方图的代码（）

一些评论

1. 第一检查：a） sum(f)是1 ，如果Nbins与直方图调整（）的作为概率，B）标准化sum(f)/N是1，如果Nbins手动设置不正常化。
2. pdf需要图g bin的宽度（ dx ）

码

%%METHOD 5: with histogram()
% http://stackoverflow.com/a/38809232/54964
N=10000;

figure(4);
h = histogram(randn(N,1), 'Normalization', 'probability') % hist() deprecated!
Nbins=h.NumBins;
edges=h.BinEdges; 
x=zeros(1,Nbins);
f=h.Values;
for counter=1:Nbins
    midPointShift=abs(edges(counter)-edges(counter+1))/2; % same constant for all
    x(counter)=edges(counter)+midPointShift;
end
dx=diff(x(1:2)); % constast for all
g=1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*x.^2) .* dx; % pdf of ND
% Use if Nbins manually set
%new_area=sum(f)/N % diff of consecutive edges constant
% Use if histogarm() Normalization probability
new_area=sum(f)
% 1.0000
% No bar() needed here with histogram() Normalization probability
hold on;
plot(x,g,'r');hold off

图2中的输出和预期的输出均满足：面积1.0000。

Matlab：2016a
系统：Linux Ubuntu 16.04 64位
Linux内核4.6

Answer 6

在MATLAB中有一个非常好的三部分直方图调整指南（ 断开的原始链接 ， archive.org链接 ），第一部分是直方图拉伸。

Answer 7

Cauchy我认为，对于某些发行版，我发现trapz会高估该区域，因此pdf会根据您选择的bin数量而变化。 在这种情况下

[N,h]=hist(q_f./theta,30000); % there Is a large range but most of the bins will be empty
plot(h,N/(sum(N)*mean(diff(h))),'+r')