渐近符号

Question

这是从MIT开放式课程算法简介的分配中得出的关于渐近符号的问题：
对于以下每个陈述，确定对于渐近非负函数f和g ，它是始终为true ， 从不为true或有时为true 。 如果它始终是对或永远都不是 ，请说明原因。 如果有时为true ，请提供一个示例为true，为假。

f(n) ≠ O(g(n)) and g(n) ≠ O(f(n))   (both are Big-O notes)

我认为那永远都不是真的 。 这是我的证明：

   f(n) ≠ O(g(n))
=> f(n) = w(g(n))   (little-omega note)
=> g(n) = o(f(n))   (little-o note)
=> g(n) = O(f(n))   (big-O note)

结果与g(n) ≠ O(f(n)) (Big-O note)相矛盾。 同样

   g(n) ≠ O(f(n))
=> g(n) = w(f(n))   (little-omega note)
=> f(n) = o(g(n))   (little-o note)
=> f(n) = O(g(n))   (big-O note)

这与f(n) ≠ O(g(n)) (Big-O note)相矛盾。

该解决方案说有时是正确的 ：

For f(n) = 1 and g(n) = ||n*sin(n)|| it is true,  
while for any f(n) = O(g(n)), e.g. f(n) = g(n) = 1, it is not true.

我的证明在哪里做错了？ 另外，我无法理解解决方案。 ||n*sin(n)|| 在我看来像是矢量规范 。

Answer 1

我认为n*sin(n)只是表明它是不断变得大于＆小的函数f(n) = 1为正偶数为用于定义大O＆从而恒定乘数的所有选择后续值f(n) ≠ O(g(n)) and g(n) ≠ O(f(n))

天真的选择的函数（例如g(n) = 2*sin(n)在这里效果不好。 有人可能会认为这也会在f(n) = 1周围保持交替，但是g(n) = O(f(n)) : M*f(n) > g(n) for M = 3等

Answer 2

第一个是不正确的：从这个f(n) ≠ O(g(n))出发，它并不遵循： f(n) = w(g(n)) 。 这两个功能可能在某个点相交，然后拍打，另一个则变得更大（如果我使用简单的话）。

他们选择的函数就是这种情况：对于n <= 1，第一个f（n）> g（n），并且存在ns，其中g（n）> f（n）（例如pi / 2）。