Hasfell的multirec软件包中的“ HFix”如何工作？

Question

我了解常规定点类型组合器，并且我了解高阶定n型组合器，但是HFix我HFix 。 您能否举一个可以应用HFix的数据类型及其固定点的HFix 。

Answer 1

自然的参考是针对互递数据类型的具有固定点的通用编程，其中解释了multirec包 。

HFix是用于相互递归数据类型的固定点类型组合器。 本文在第3.2节中对此进行了很好的解释，但是我们的想法是概括这种模式：

 Fix :: (∗ -> ∗) -> ∗
 Fix2 :: (∗ -> ∗ -> ∗) -> (∗ -> ∗ -> ∗) -> ∗

至

 Fixn :: ((∗ ->)^n * ->)^n ∗
 ≈
 Fixn :: (*^n -> *)^n -> *

为了限制执行固定点操作的类型，它们使用类型构造函数而不是* ^ n。 他们给出了一个AST数据类型的示例，该数据在本文的三种类型之间相互递归。 我也许会为您提供最简单的示例。 让我们HFix这种数据类型：

data Even = Zero | ESucc Odd deriving (Show,Eq)
data Odd  = OSucc Even       deriving (Show,Eq)

让我们介绍该数据类型的特定于家庭的GADT，如第4.1节所述

data EO :: * -> * where
  E :: EO Even
  O :: EO Odd

EO Even表示我们携带的是偶数。 我们需要El实例才能正常工作，它表示在编写EO Even和EO Odd分别引用的是哪个特定的构造函数。

instance El EO Even where proof = E
instance El EO Odd  where proof = O

这些用作I的HFunctor实例的约束。

现在让我们为偶数和奇数数据类型定义模式函子。 我们使用库中的组合器。 :>:类型构造函数使用类型索引标记值：

type PFEO = U      :>: Even   -- ≈ Zero  :: ()      -> EO Even
        :+: I Odd  :>: Even   -- ≈ ESucc :: EO Odd  -> EO Even
        :+: I Even :>: Odd    -- ≈ OSucc :: EO Even -> EO Odd

现在我们可以使用HFix来围绕此模式函子打结：

type Even' = HFix PFEO Even
type Odd'  = HFix PFEO Odd

这些现在与EO Even和EO Odd同构，并且如果将其hto Fam的实例，则可以使用hfrom和hto函数 ：

type instance PF EO = PFEO

instance Fam EO where
  from E Zero      = L    (Tag U)
  from E (ESucc o) = R (L (Tag (I (I0 o))))
  from O (OSucc e) = R (R (Tag (I (I0 e))))
  to   E (L    (Tag U))           = Zero
  to   E (R (L (Tag (I (I0 o))))) = ESucc o
  to   O (R (R (Tag (I (I0 e))))) = OSucc e

一个简单的小测试：

test :: Even'
test = hfrom E (ESucc (OSucc Zero))

test' :: Even
test' = hto E test

*HFix> test'
ESucc (OSucc Zero)

另一项愚蠢的测试，即代数将Even和Odd为Int值：

newtype Const a b = Const { unConst :: a }

valueAlg :: Algebra EO (Const Int)
valueAlg _ = tag (\U             -> Const 0)
           & tag (\(I (Const x)) -> Const (succ x))
           & tag (\(I (Const x)) -> Const (succ x))

value :: Even -> Int
value = unConst . fold valueAlg E