非相交线段同时最小化累积长度

Question

我想找到一个更好的算法来解决以下问题：

二维中有N 个起点（紫色）和N 个目标点（绿色）。 我想要一种算法，通过线段（棕色）将起点连接到目标点，而这些线段中没有任何线段相交（红色），同时最小化所有线段的累积长度。

我在 C++ 中的第一个努力是置换所有可能的状态，找到无交集的状态，以及那些总段长度最小的状态O(n!) 。 但我认为必须有更好的方法。

任何的想法？ 或者好的搜索关键字？

Answer 1

这是2D 中的最小欧几里得匹配。 该链接包含有关此问题的已知内容的参考书目。 鉴于您想最小化总长度，非相交约束是多余的，因为任何相交的线段的长度都可以通过不相交来减少。

Answer 2

您可以选择随机连接，然后每次通过更改其端点的连接来删除一个交叉。 此操作减少了总长度（通过三角不等式）。 由于相互交叉的线的方式数量是有限的，因此在有限数量的步骤中我们可以得到一个非交叉的解决方案。 在实践中，它应该很快收敛。

Answer 3

按照qq3的回答说交叉约束是多余的，还有一步。 将起点分配给终点，同时最小化总长度。 幸运的是，有一个多项式时间算法：

匈牙利算法是一种在多项式时间内解决分配问题的组合优化算法。

它将时间顺序从O(n!) 减少到O(n ³ ) 。

Answer 4

看起来您可以使用BSP 类型的算法。