最佳字符串，其中包含给定集中的所有字符串作为子字符串

Question

我正在使用一些需要大（恒定）位数组的代码。 由于它包含较大的常数跨度（全0或全1），因此将其分为两级表，可以消除重复的跨度（常数或其他），如下所示：

bitn = table2[table1[n/256]+n%256/8]&1<<n%8

此时，表table1条目都是32（256位）的倍数，但我想知道是否可以通过允许table2的跨度重叠来实现显着的节省。 所以我的问题是（以抽象形式表示）：

给定N个每个长度为K的字符串{S_n：n = 1..N}，是否有一种有效的方法来找到最短长度的字符串S，以使每个S_n是S的子字符串？

（请注意，由于我可能想使我的位数组保持8位对齐，因此我对该问题的特殊应用可能是处理8位字节的字符串，而不是位字符串，但是该问题在任何意义上都是有意义的-位，字节或其他内容。）

Answer 1

首先，可以将这个问题表述为TSP。 我们有一组节点（每个字符串是一个节点），我们需要找到访问所有节点的路径。 字符串x和y之间的距离定义为len（xy）+ len（y），其中xy是同时具有x和y且以x开头的最佳字符串（例如x = 000111，y = 011100，xy = 0001100 ，距离（x，y）= 8-6 = 2）。

注意，这也服从三角形不等式（distance（x，z）<= distance（x，y）+ distance（y，z））。 距离是1到k的整数。 而且，距离是不对称的。

TSP的此版本称为（1，B）-ATSP。 有关此类问题的分析和近似解决方案，请参见http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.20.3439 。

Answer 2

与具有大量常量部分的大型常量位数组有关，这是设计表供您考虑的另一种方法（我不知道您的确切需求，因此无法说出是否有帮助）。

考虑像基数树之类的东西。 为了便于说明，让我定义get函数：

#define TYP_CONST
#define TYP_ARRAY

struct node {
    unsigned min;
    unsigned max;
    int typ;
    union {
        char *bits;
        int constant;
    } d;
    struct node *left;
    struct node *right;
}

struct bit_array {
    unsigned length;
    struct node *root;
}

int get(struct bit_array *b, unsigned ix)
{
    struct node *n = b->root;
    if (ix >= b->length)
        return -1;
    while (n) {
        if (ix > n->max) {
            n = n->right;
            continue;
        } else if (ix < n->min) {
            n = n->left;
            continue;
        }
        if (n->typ == TYP_CONST)
            return n->d.constant;
        ix -= n->min;
        return !!(n->d.bits[ix/8] & (1 << ix%8));
    }
    return -1;
}

用人类的话来说，您想在树中搜索自己的位。 每个节点负责一个位范围，您可以对范围进行二进制搜索以找到所需的范围。

找到范围后，有两个选择：常数或数组。 如果为常量，则只需返回常量（可以节省大量内存）。 如果是数组，则在位数组中进行数组查找。

您将拥有O（log n）查找时间，而不是O（1）....，尽管它仍然应该非常快。

这里的困难在于设置适当的数据结构很烦人并且容易出错。 但是您说数组是恒定的，所以这可能不是问题。