Coq - 在if ... then ... else中使用Prop（True | False）

Question

我是Coq的新手。

我正在尝试实现插入排序的通用版本。 我正在实现的是将Comparator作为参数的模块。 此Comparator实现比较运算符（例如is_eq，is_le，is_neq等）。

在插入排序中，为了插入，我必须比较输入列表中的两个元素，并根据比较结果将元素插入到正确的位置。

我的问题是比较运算符的实现是type -> type -> prop （我需要它们像这样实现其他类型/证明）。 如果可以避免，我宁愿不创建type -> type -> bool版本的运算符。

有没有办法转换True | False 在if ... then ... else子句中使用bool的True | False支柱？

比较器模块类型：

Module Type ComparatorSig.

  Parameter X: Set.
  Parameter is_eq : X -> X -> Prop.
  Parameter is_le : X -> X -> Prop.
  Parameter is_neq :  X -> X -> Prop.

  Infix "=" := is_eq (at level 70).
  Infix "<>" := (~ is_eq) (at level 70).
  Infix "<=" := is_le (at level 70).

  Parameter eqDec : forall x y : X, { x = y } + { x <> y }.

  Axiom is_le_trans : forall (x y z:X), is_le x y -> is_le y z -> is_le x z.

End ComparatorSig.

自然数的实现：

Module IntComparator <: Comparator.ComparatorSig.
  Definition X := nat.
  Definition is_le x y := x <= y.
  Definition is_eq x y := eq_nat x y.
  Definition is_neq x y:= ~ is_eq  x y.

  Definition eqDec := eq_nat_dec.

  Definition is_le_trans := le_trans.
End IntComparator.

插入排序的插入部分：

  Fixpoint insert (x : IntComparator .X) (l : list IntComparator .X) :=
    match l with
      | nil => x :: nil
      | h :: tl => if IntComparator.is_le x h then x :: h :: tl else h :: (insert x tl)
    end.

（显然，插入修复点不起作用，因为is_le返回Prop而不是bool）。

任何帮助表示赞赏。

Answer 1

你似乎对Prop有点困惑。

is_le xy是Prop类型，并且是x is less or equal to y的语句。 这并不能证明这种说法是正确的。 这个陈述是正确的证据是p : is_le xy ，这种类型的居民（即该陈述的真相的证人）。

这就是为什么在IntComparator.is_le xh上模式匹配没有多大意义。

更好的界面如下：

Module Type ComparatorSig.

  Parameter X: Set.
  Parameter is_le : X -> X -> Prop.
  Parameter is_le_dec : forall x y, { is_le x y } + { ~ is_le x y }.

特别是， is_le_dec的类型是属性is_le的决策过程的is_le ，也就是说，它返回x <= y的证明或~ (x <= y)的证明。 由于这是一个带有两个构造函数的类型，因此您可以利用if糖：

... (if IntComparator.is_le_dec xh then ... else ...) ...

从某种意义上说，这是一个强化的bool ，它会为它所要决定的东西返回一个见证。 有问题的类型叫做sumbool ，你可以在这里了解它： http ： sumbool

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通常，在执行代码时谈论True或False是没有意义的。

首先，因为它们存在于Prop ，这意味着它们在计算上Prop ，因为它们将被删除。

其次，因为他们不是Prop的唯一居民。 虽然true和false是bool类型的唯一值，这意味着你可以模式匹配，但Prop类型包含无限数量的元素（你可以想象的所有语句），因此尝试和模式匹配是没有意义的。 Prop类型的元素。