Haskell中的算子如何與類別理論中的算子相關？

Question

據我所知，仿函數是兩個類別之間的映射，例如來自對象 對象中的對象 哪里 和 是類別。

在Haskell中有Hask ，其中對象是Haskell類型，而態射是Haskell函數。 但是， Functor類型類有一個函數fmap ，它在這些類型之間進行映射（因此它們是對象而不是類本身）：

fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

fa和fb都是Hask中的對象。 這是否意味着Haskell中的Functor每個實例都是一個endofunctor，如果沒有， Functor真的代表一個仿函數？

我在這里錯過了什么？ 類型也是Haskell中的類別嗎？

Answer 1

Functor一個實例指定了兩件事：類型構造函數F的種類* -> * ，即從Hask的對象到Hask的對象的映射，以及類型的函數(a -> b) -> (F a -> F b) ，即從Hask的箭頭到與對象映射F兼容的Hask的箭頭的映射。 所以，是的， Functor所有實例都是endofunctors。 Hackage有幾種可用的概括，例如Control.Categorical.Functor 。

Answer 2

是的，所有Functor實例都是Hask上的endofunctors - 事實上，來自所有Hask的endofunctors到一個適當的子類，其對象是通過應用特定類型構造函數獲得的類型。 該類型構造函數與Functor實例相關聯，並提供對象的映射; 態射的映射是fmap ，它（因為我們只關注笛卡爾閉合范疇的endofunctors）本身就是Hask中的態射系列 。

除了那些可以有Functor實例的函數之外，考慮其他函子是有意義的，例如逆變函子 （從Hask到它的相反類別）。 Arrow類中的arr函數也對應於一個仿函數，從所有Hask到其對象與Hask的對象相同的類別 ，其狀態由與Arrow實例關聯的類型構造函數描述。

進一步的概括也是可能的（正如Daniel Wagner指出的那樣），但使用起來往往變得越來越尷尬。

Answer 3

關於這一點的一個重要的一點是，你真正想要的是富含 Hask的函子，而不僅僅是普通的舊算子。 Hask是笛卡爾閉合的（ 不是真的 ，但它很難成為那樣），因此它本身就是自然豐富的。

現在，豐富的endofunctors為你提供了一種限制語言中可實現的方法 ：一個豐富的函子Hask - > Hask是對象（類型） fa和每對對象a, b一個函數Hask中的態射f： Hask （a，b） - > Hask （fa，fb） 。 當然，這只是fmap :: (a -> b) -> fa -> fb