動態規划算法

Question

給定大小NxM為0和1的矩陣。 如果[i:j]處存在鼠標，那么它將為1 ，否則為0 。 我們必須從[0:0]並到達[n-1:m-1] 。 我們只能向下或向右走。 如果我們通過位置[x:y]使|ix|+|jy|<=1 ，則位置[i:j]鼠標會嚇到我們。

找到一條我們被最小數量的不同老鼠嚇到的路徑。 注意單詞distinct，即鼠標如果害怕我們那么它不會再嚇到我們了。

在一次采訪中詢問了這個問題。 我試圖通過一般DP問題中使用的想法解決它，我們可以向下和向右移動並且必須找到最小路徑，但在所有這些問題中我們可以采用最小的[i-1:j]和[i:j-1]查找當前索引最小值並從左到右處理所有行。

但是我不能在這里使用這個想法，因為這里有一個鼠標影響4個細胞。

有人能說出如何解決這個問題嗎？

Answer 1

我認為解決這個問題的最簡單（不夠有效）的方法是在NxM頂點的圖上求解最短路徑，使用以下邊成本函數（i和j是引用單元格的圖節點（i'，j'）和（i'，j''）在主矩陣中）：

c(i,j) = 1 if [(i',j') and (i'',j'') are sideByside] && [(i'',j'') is scaring] ,
         0 otherwise

Answer 2

我認為這個非常簡單的想法（可能不完整但足以滿足面試官的要求）如下。

我們為邊緣分配權重。 首先，所有邊都具有權重0.然后在頂點A中考慮鼠標。頂點A具有4個相鄰邊b，c，d，e，其連接A與頂點B，C，D，E（當A僅有2或者3個相鄰邊緣相似）。 所以現在我們為鄰近頂點B，C，D，E的每個邊緣增加1，除了邊緣b，c，d，e。 現在，頂點A將權重2添加到每個MINIMAL權重路徑“被頂點A嚇到”。 任何可能的4只角鼠都需要特別考慮，我們可以將邊緣權重增加2。

現在我們有一個最簡單的DP問題，即在向下/向右移動的整數點陣中找到最小權重的路徑。 我擔心的是只用1步或2步分開的老鼠。 我很快檢查了，這似乎有效，但我沒有完整的證據。

Answer 3

在每個單元格中，存儲最有效路徑來自的位置（頂部或左側）（在每個單元格中基本上是一個位值）。

1. 當考慮左邊的細胞時，如果那個細胞來自頂部並且當前細胞正上方有一只小鼠，我們就知道它已經嚇到了我們。

   插圖：（ C是當前單元格， L是左邊， S是L的來源）

    0S1 <- this mouse already scared us 0LC 

2. 當將細胞考慮到頂部時，如果該細胞來自左側並且當前細胞的左側有一只小鼠，我們知道它已經嚇到了我們。

   插圖：（ C是當前單元格， T是頂部， S是T的來源）

    0ST 01C ^- this mouse already scared us 

3. 當把細胞考慮到頂部時，如果那個細胞有一只老鼠，我們知道它已經嚇到了我們。

   插圖：（ C是當前單元格）

    01 <- this mouse already scared us 0C 

4. 當考慮左邊的細胞時，如果那個細胞有一只老鼠，我們就知道它已經讓我們害怕了。

   插圖：（ C是當前單元格）

    01C ^- this mouse already scared us 

5. 當考慮到頂部或左側的單元格時，如果當前單元格有鼠標，我們知道它已經嚇到了我們。

   插圖：（ 1為當前單元格， L為左側， T為頂部）

    0T L1 <- this mouse already scared us 

從這里推導算法應該不會太困難。

Answer 4

如果我們只是被一只老鼠嚇到了，如果我們通過它的細胞那么問題將是微不足道的。 如果通過其中一個小鼠細胞，只需增加路徑的可怕性。 通過在路徑上的歸納，我們可以記住從給定單元到最終的最佳路徑，然后以通常的DP方式構建到起點。

復雜性是由以下要求產生的：如果我們通過鼠標范圍內的5個單元格之一，那么我們需要增加路徑的可怕性，但只需增加一次。

這可以通過使用寬度為N的位字段來實現，其中N是鼠標的數量，第i位表示該路徑是否會使您害怕第i個鼠標。 然后，DP可以對一個向量（0,0，..，0,1,0，...，0,0）使用按位OR運算，其中1位於第i個鼠標的第i個位置。

但是在找到最佳部分路徑時會遇到問題，因為沒有嚴格的比特字段排序權重相等。 一些簡單的啟發式邏輯表明，您只需關注鼠標周圍9個單元格的區別。 因此，您可以簡單地跟蹤那里附近的一組最佳部分路徑。 保持在鼠標附近的解決方案是最好的解決方案，當沒有被鼠標i嚇到，以及那些你被鼠標嚇到的人。 在接近區分后，兩者不再相關。