查找兩個嵌套的while循環的循環不變java

Question

我對不變式有點熟悉，我可以在一個較小的循環中或多或少地找到它。 當為java的以下偽代碼求解不變式時，我很困惑。 誰能幫忙嗎：

Input: an array A
i <- length(A)
# outer invariant
while i != 0 do
  k <- i
  j <- i - 1
  # inner invariant
  while j != 0 do
    if A[j] > A[k] then
      k <- j
    j <- j - 1
    # inner invariant
  swap(A, i, k)
  i <- i - 1
# outer invariant

Answer 1

您應該計算出從內部循環開始的嵌套循環的不變量：

while (j != 0) {
    if (A[j] > A[k]) {
        k = j;
    }
    j--;
}

你可以觀察到

A[k] >= A[x], for any (j < x) && (x <= i)

在循環的末尾， j == 0 ，因此將Hoare Tripple用於while循環，可以聲明在內部循環的末尾

A[k] >= A[x], for any (0 < x <= i)

這是說A[k]是MAX(A[0:i])另一種說法。

現在您可以繼續進行外部循環：由於i從A.length向下減小到零，因此不變式為

A[y] < A[x], for any (y >= i) for any (y < x <= Length(A))

再次使用Hoare Trippe，您可以得出以下結論：退出外循環后，數組A會以升序排序：

A[y] < A[x], for any (y >= 0) for any (y < x <= Length(A))

Answer 2

您的代碼片段可以按以下方式減少和格式化（您是否習慣C語言語法？）：

for ( i = n; i > 0 ; i -- ) {
    for ( j = i - 1 ; j > 0 ; j -- ) {
        // Constant time instructions here symbolized by c
    }
}

從上面的片段中傳遞給Sigma Notation不會太麻煩：