如何停止隨機行走

Question

plot(0:70,0:70, type="n", xlab="X", ylab="Y")

x<-40
y<-40

x2<-60
y2<-60

points(x, y, pch=16, col="red", cex=1.5)
points(x2, y2, pch=16, col="green", cex=1.5)

for (i in 1:10000){
    xi<-sample(c(1,0,-1),1)
    yi<-sample(c(1,0,-1),1)
    x2i<-sample(c(1,0,-1),1)
    y2i<-sample(c(1,0,-1),1)
    lines(c(x,x+xi),c(y,y+yi))
    lines(c(x2,x2+x2i),c(y2,y2+y2i), col="red")
    x<-x+xi
    y<-y+yi
    x2<-x2+x2i
    y2<-y2+y2i
    if(x2==x && y==y2) {
        break
    }
}

我有兩行隨機走動，兩行相遇時我需要停下來。

首先，我畫了一個空圖和兩條線的起點。 然后，我有一個for循環，用於直線移動，在繪圖上繪制它們並為下一次迭代獲取新的起點。

我試圖使行在使用時相遇時停止： if(x2==x && y==y2) { break }但行僅在它們位於相同點且同時（在同一迭代中）停止如果他們中的一個越過另一個，我就需要他們停下來。 如果一個交叉點已經畫出另一條線。 我認為問題在於已經繪制的點不會保存在任何地方，因此我無法將它們與直線的點進行比較。 也許我需要將積分保存到循環之外？ 有人知道如何制止它嗎？

Answer 1

N      <- 10000
D      <- 1
coef.1 <- matrix(NA,N,2)
coef.2 <- matrix(NA,N,2)
path.1 <- matrix(NA,N,2)
path.2 <- matrix(NA,N,2)
path.1[1,] <- c(40,40)
path.2[1,] <- c(60,60)
d.start    <- sqrt(sum((path.1[1,]-path.2[1,])^2))
ch <- "."
set.seed(1)
system.time({
  for (i in 2:N){
    if (i%%50==0) cat(ch)
    path.1[i,] <- path.1[i-1,] + sample(-D:D,2)
    path.2[i,] <- path.2[i-1,] + sample(-D:D,2)
    coef.1[i,] <- get.line(path.1[(i-1):i,])
    coef.2[i,] <- get.line(path.2[(i-1):i,])
    r.1 <- sqrt(max(rowSums((path.1[1:i,]-path.1[1,])^2)))
    r.2 <- sqrt(max(rowSums((path.2[1:i,]-path.2[1,])^2)))
    if (r.1+r.2 < d.start) next  # paths do not overlap
    ch <- "1"
    d.1 <- sqrt(min(rowSums((path.2[1:i,]-path.1[1,])^2)))
    d.2 <- sqrt(min(rowSums((path.1[1:i,]-path.2[1,])^2)))
    if (d.1>r.1 & d.2>r.2) next
    ch <- "2"
    cross <- sapply(2:i,
               function(k){seg.intersect(path.2[(k-1):k,],path.1[(i-1):i,],k)})
    if (any(cross)) break
    cross <- sapply(2:i,
               function(k){seg.intersect(path.1[(k-1):k,],path.2[(i-1):i,],k)})
    if (any(cross)) break
  }
})
# 11111111112222222222222222222222
#    user  system elapsed 
# 1016.82    0.13 1024.18
print(paste("End at Step: ",i))
# [1] "End at Step:  1624"
plot(0:100,0:100, type="n", xlab="X", ylab="Y")
points(path.1[1,1],path.1[1,2], pch=16, col="red", cex=1.5)
points(path.2[1,1],path.2[1,2], pch=16, col="green", cex=1.5)
lines(path.1[1:i,])
lines(path.2[1:i,],col="red")

正如@CarlWitthoft指出的那樣，在每個步驟中，您都必須檢查所有先前的線段是否存在交叉。 這就產生了一個嚴重的問題，因為在每個新步驟i ，都有2*(i-1)交叉測試。 因此，如果您在步驟k到達交叉口，將進行2*k*(k+1)測試。 如果k ~O(10000) ，則可能存在100MM測試。

為了提高效率，我們不僅在每個步驟中存儲了兩個新點，而且還存儲了新創建的線段的斜率和截距。 這樣避免了在每個步驟中重新計算所有先前線段的斜率和截距。 此外，我們還計算了每個步驟中每個路徑的路徑半徑r。 這是起點與路徑上距起點最遠的點之間的距離。 如果路徑起點和另一條路徑上最接近點之間的距離大於路徑半徑，則可能沒有交叉，我們可以跳過此步驟的各個線段比較。

由於其他原因，您的問題很有趣。 測試交叉的正常方法是確定兩條線之間的交點是否在任何一條線上。 這很麻煩但是很簡單。 但是，有許多特殊情況：線是否平行？ 如果是這樣，它們是巧合嗎？ 如果是這樣，那么片段重疊嗎？ 垂直線（slope = Inf）呢？ 因為您將增量設置為[-1,1]上的隨機整數，所以所有這些可能性很可能最終會在具有10000步的路徑中發生。 因此，上面的函數seg.intersect(...)必須考慮所有這些可能性。 您可能會認為R中有一個函數可以做到這一點，但我找不到一個函數，所以這里是一個（混亂的）版本：

get.line <- function(l) {        # returns slope and intercept 
  if (diff(l)[1]==0) return(c(Inf,NA))
  m <- diff(l)[2]/diff(l)[1]
  b <- l[1,2]-m*l[1,1]
  return(c(m,b))
}
is.between <- function(x,vec) {  # test if x is between values in vec
  return(x>=range(vec)[1] & x<=range(vec)[2])
}
special.cases = function(l1,l2, coeff) {
  # points coincide: not a line segment!
  if (rowSums(diff(l1)^2)==0 | rowSums(diff(l2)^2)==0) return(c(NA,FALSE))
  # both lines vertical
  if (is.infinite(coeff[1,1]) & is.infinite(coeff[2,1])) {
    if (l1[1,1]!=l2[1,1]) return(c(NA,FALSE))
    t1 <- is.between(l1[1,2],l2[,2]) | is.between(l1[2,2],l2[,2])
    t2 <- is.between(l2[1,2],l1[,2]) | is.between(l2[2,2],l1[,2])
    return(c(NA,t1|t2))
  }
  # only l1 is vertical
  if (is.infinite(coeff[1,1]) & is.finite(coeff[2,1])) {
    x <- l1[1,1]
    y <- c(x,1) %*% coeff[2,]
    return(c(x,y))
  }
  # only l2 is vertical
  if (is.finite(coeff[1,1]) & is.infinite(coeff[2,1])) {
    x <- l2[1,1]
    y <- c(x,1) %*% coeff[1,]
    return(c(x,y))
  }
  # parallel, non-coincident lines
  if (diff(coeff[,1])==0 & diff(coeff[,2])!=0) return(c(NA,FALSE))
  # parallel, coincident lines
  if (diff(coeff[,1])==0 & diff(coeff[,2])==0) {
    x <- l1[1,1]
    y <- l1[1,2]
    return(c(x,y))
  }
  # base case: finite slopes, not parallel
  x <- -diff(coeff[,2])/diff(coeff[,1])
  y <- c(x,1) %*% coeff[1,]
  return(c(x,y))   
}
seg.intersect <- function(l1,l2,i){
  pts   <- list(l1,l2)
  coeff <- rbind(coef.1[i,],coef.2[i,])
  z <- special.cases(l1,l2, coeff)
  if (is.na(z[1])) return (z[2])
  #  print(coeff)
  #  print(z)
  found <- do.call("&",
    lapply(pts,function(x){is.between(z[1],x[,1]) & is.between(z[2],x[,2])}))
  return(found)
}