計數到N的位模型成本

Question

考慮一個類似於教科書加法的計算模型，其中每個操作的成本為1個單位，那么用於計數到n的二進制加法的位模型成本是多少，其中n是2的冪？

模型

該計算模型基於上面寫有0和1的玩具塊。 最初，零塊位於桌子上（空閑）。 每個塊操作（刪除或添加塊）花費1個單位。

目的是將表上的（二進制）數字替換為1、2、3，...，n。 這是通過模仿“ 隨身攜帶”來完成的 。

例如，我們以0開頭。要計數為1，我們需要刪除0（成本1）並加1（成本1）。 然后，要計數到2，我們需要添加1（成本1）。 然后，我們刪除兩個（成本2），將其替換為0（成本1），並在前面添加1（成本1）以得到10（基數2）（成本1）。 依此類推，直到n 。

我計算出，當最低有效位為0時，開銷為2（刪除0，加1）。 當lsb為1時，成本為5。

增加數字的成本

0000 ->  0           (0 time unit to go to 0 - block already there)
0001 ->  2           (2 operations to go to 2)
0010 ->  1*4 + 1     (1 carry)
0011 ->  2
0100 ->  2*4 + 1     (2 carries)
0101 ->  2
0110 ->  5
0111 ->  2
1000 ->  3*4 + 1     (3 carries)
1001 ->  2
1010 ->  5
1011 ->  2
1100 ->  2*4 + 1
1101 ->  2
1110 ->  5
1111 ->  2
10000 ->  4*4 + 1
10001 ->  2
10010 ->  5
...

我開始看到一種模式，但是無法將其形式化。

看起來T(n) = sum from k = 1 to log n of (4k +1) + 9 * 2^(log n - 2) 。

Answer 1

考慮這一點的一種方法是跨列而不是行求和。 假設您最多計數2 ^k 。 然后：

• 在所有2 ^k個操作中，1的位將翻轉。
• 在這些操作的2 ^k / 2 = 2 ^k-1中，2的位將翻轉。
• 在這些操作的2 ^k / 4 = 2 ^k-2中，4的位將翻轉。
• 在這些操作的2 ^k / 8 = 2 ^k-3中，8的位將翻轉。
• ...
• 在這些操作的2 ^k / 2 ^k = 1中，2 ^k的位將翻轉。

（在上面，我指的是將新的1位數字添加為“翻轉”而不是“添加”，因為您可以將其視為從0翻轉為1或在前面添加新的1位數字。）

這意味着必須更改的總位數為

2 ^k + 2 ^k-1 + 2 ^k-2 + ... + 1

= 2 ^{k +} 1-1

因此，總共將翻轉2 ^{k +} 1-1位。 我們可以檢查一下：從0到1，我們得到

0
1

因此，一位被翻轉了（如我們所預測的，1 = 2 ^1-1 ）。 當從0到2計數時，我們得到

00
01
10

這是一個總三個比特的翻轉（0 -在1的地方> 0和0 - - > 1中的2個位> 1），和3 = 2 ² - 1，正如我們猜測。

希望這可以幫助！