產生勾股三元組的最佳方法是什么？

Question

當您只檢查a和b的所有組合，然后檢查c的平方根是否是整數時，我嘗試使用該簡單代碼，但是該代碼確實很慢，然后我嘗試使用Euclid公式

a = d*(n^2 - m^2)
b = 2*n*m*d
c = d*(n^2 + m^2)

我寫了一個代碼，您首先在其中找到n

trunc(sqrt(max_value))
//this is in pascal

然后檢查0 <m <n的每個組合，但得到重復的結果，例如如果n為7，m為5且d為1，n為6，m為1且d為2。 在這兩種情況下，您都得到24、70和74。因此，計算勾股勾股三倍體的數量的一種快速方法是什么，我似乎找不到任何方法，如果我將所有結果都添加到數組中，然后檢查數組用於重復項，這將花費太多時間...如果有人可以通過pascal，c或python幫助我，我可以理解所有內容...

Answer 1

我很好奇，所以我決定嘗試一下。 我發現該算法非常容易在Python中實現，並且運行速度非常快：

import math                                                                 

def pythagorean_triples(n):                                                 
    a, b, c = 1, 3, 0                                                       
    while c < n:                                                            
        a_ = (a * b) + a                                                    
        c = math.sqrt(a_**2 + b**2)                                         
        if c == int(c):                                                     
            yield b, a_, int(c)                                             
        a += 1                                                              
        b += 2                                                              

if __name__ == '__main__':                                                  
    import sys                                                              
    for pt in pythagorean_triples(int(sys.argv[1])):                        
        print(pt)

通過將該腳本復制到pythagorean_triples.py並運行python3 pythagorean_triples.py n進行嘗試，其中n是您要生成的最大c 。 （如果您願意，也可以使用以后的Python2。）

Answer 2

勾股三元組的Wikipedia頁面為我們提供了提示：

當且僅當m和n為互質且m-n為奇數時，歐幾里德公式生成的三元組才是原始的。 如果m和n均為奇數，則a，b和c將為偶數，因此三元組將不是原始的； 但是，如果m和n是互質的，則將a，b和c除以2將得到原始三元組

如果將m和n限制為互質數，並強制m-n為奇數，則將唯一地生成所有原始的畢達哥拉斯三元組。 從這一點開始，您應該能夠將這些唯一的三元組乘以d因子，從而唯一地生成所有三元組。

在您的示例中，允許n = 7和m = 5是問題，因為它們的差是偶數，並且它們生成的三元組不是原始的（您可以將所有邊除以2得到較小的三元組）

Answer 3

這是我的解決方案：

import math
def pythagoreanTriplet(n):
  for b in range(n):
    for a in range(1, b):
        c = math.sqrt( a * a + b * b)
        if c % 1 == 0:
            print (a, b, int(c))

pythagoreanTriplet(12)