將此遞歸解決方案轉換為DP

Question

給定一堆整數，玩家輪流從堆棧頂部移除1,2或3個數字。 假設對手以最佳方式進行游戲並且您先選擇，我想出了以下遞歸：

int score(int n) {
    if (n <= 0) return 0;

    if (n <= 3) {
        return sum(v[0..n-1]);
    }

    // maximize over picking 1, 2, or 3 + value after opponent picks optimally
    return max(v[n-1] + min(score(n-2), score(n-3), score(n-4)),
               v[n-1] + v[n-2] + min(score(n-3), score(n-4), score(n-5)),
               v[n-1] + v[n-2] + v[n-3] + min(score(n-4), score(n-5), score(n-6)));
}

基本上，在每個級別比較選擇1,2或3的結果然后你的對手選擇1,2或3。

我想知道如何將其轉換為DP解決方案，因為它顯然是指數級的。 我正在努力解決這樣一個事實：它有三個維度：你的選擇數，對手選擇數和子問題大小，即，它似乎是table[p][o][n]的最佳解決方案需要維護，其中p是您選擇的值的數量， o是您的對手選擇的數字， n是子問題的大小。

我真的需要3個尺寸嗎？ 我已經看到了類似的問題： http ： //www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-31-optimal-strategy-for-a-game/ ，但似乎無法適應它。

Answer 1

這是問題可以轉換成DP的方式： -

score[i] = maximum{ sum[i] - score[i+1] , sum[i] - score[i+2] , sum[i] - score[i+3]  } 

這里score[i] means max score generated from game [i to n]其中v[i] is top of stack 。 sum[i] is sum of all elements on the stack from i onwards 。 sum[i]可以使用O（N）中的單獨DP來評估。 可以使用O（N）中的表來解決上述DP

編輯： - 以下是JAVA中的DP解決方案： -

public class game {

    static boolean play_game(int[] stack) {
        if(stack.length<=3)
            return true;
        int[] score = new int[stack.length];
        int n = stack.length;
        score[n-1] = stack[n-1];
        score[n-2] = score[n-1]+stack[n-2];
        score[n-3] = score[n-2]+stack[n-3];
        int sum = score[n-3]; 
        for(int i=n-4;i>=0;i--) {
            sum = stack[i]+sum;
            int min = Math.min(Math.min(score[i+1],score[i+2]),score[i+3]);
            score[i] = sum-min;
        }
        if(sum-score[0]<score[0]) 
            return true;

        return false;
    }

    public static void main(String args[]) {
        int[] stack = {12,1,7,99,3};
        System.out.printf("I win => "+play_game(stack));
    }

編輯：-

要獲得DP解決方案，您需要根據自身的較小實例可視化問題解決方案。 例如，在這種情況下，當兩個玩家都在最佳地玩時，在第一個玩家做出的選擇之后，第二個玩家也獲得剩余堆棧的最佳分數，該剩余堆棧是第一個的子問題 。 這里唯一的問題是如何再次表示它。 要解決DP，必須首先根據子問題定義遞歸關系 ， 子問題以任何計算方式在當前問題之前。 現在我們知道，無論第二名球員獲勝，第一名球員如此有效地輸掉第一名球員獲得total sum - score第二名球員total sum - score 。 作為第二個玩家也能以最佳方式進行游戲，我們可以在遞歸方面表達解決方案。