具有不同最壞情況上限、最壞情況下限和最佳情況下界的算法示例？

Question

是否有任何算法 A，使得對於 A 的一組最壞情況實例 S，A 具有不同的最壞情況上限和最壞情況下限？ 此外，對於某些輸入集，它應該具有不同的最佳情況邊界，不等於任何最壞情況邊界。

例如，假設 H 是一個假設算法，使得 H 具有最壞情況上限 Ο(n^3)、最壞情況下限 Ω(n^2) 和最佳情況運行時間 Θ(n)。

讓我知道上述情況實際上是否有意義？

謝謝 ：）

Answer 1

你描述它的方式，選擇任何二次排序算法，比如冒泡排序：

• 最壞情況的上限可以說是O(n^3) 。

• 最壞情況下界可以說是Ω(n^2) 。

• 最好的情況運行時間可以說是Θ(n) ，當輸入已經排序並且您在開始算法之前通過單次檢查它時，或者在這種情況下使用過早終止算法的優化。

Answer 2

這是H的一個不太自然但可能更令人滿意的定義。 這個函數以一種相當愚蠢的方式計算輸入列表總和的立方。

def H(lst):
    s1 = 0
    for x in lst:
        s1 += x
    if s1 == 0:
        return 0
    elif len(lst) % 2 == 0:
        s2 = 0
        for x in lst:
            for y in lst:
                s2 += x * y
        return s1 * s2
    else:
        s3 = 0
        for x in lst:
            for y in lst:
                for z in lst:
                    s3 += x * y * z
        return s3

最好的情況是 Theta(n)。 形式 O(n^k) 的最嚴格的最壞情況上限是 O(n^3)。 Ω(n^k) 形式的最嚴格的最壞情況下限是 Ω(n^2)。

但是請注意，最壞​​情況下任何形式的最緊邊界是 Θ(f(n))，其中 f(2m) = m^2 和 f(2m+1) = m^3。