為什么此算法的bigO為m ^ 2 * n？

Question

我試圖確定為什么此算法的bigO是m ^ 2 * n，以及為什么最里面的循環以m ^ 2 * n的步長執行。

   int m=10, n=15;
   int inLoop = 0, midLoop = 0, outLoop = 0; 

   for(int i=1;i<=m;i++)
   {
    outLoop++; 
        for(int j=1;j<=2*i-1;j++)
        {
            midLoop++; 
            for(int k=1;k<=n;k++)
            {
            inLoop++; 
            }
        }
   }

   System.out.println("Out Loop " + outLoop);
   System.out.println("Mid Loop " + midLoop);
   System.out.println("Inner Loop " + inLoop);

運行此命令時，我發現內部循環運行1500次，中間循環運行100次，最外部循環運行10次。

在運行此代碼之前，我認為該代碼運行了第一次循環m次，第二次循環m ^ 2次，最后一次循環n次，使用這些值將導致內部循環輸出為15,000。

顯然，該算法似乎正在以m ^ 2 * n個步驟執行最里面的循環，而不是我認為應該以m ^ 3 * n個步驟執行。

Answer 1

我從1開始到m結束的sumsum（2i-1）是：

2 *求和（i）-求和（1）= 2 *（m + 1）/ 2 * m-m = O（m ^ 2）

這僅適用於外部和中間循環

內循環是直截了當的，導致O（n * m ^ 2）

Answer 2

我認為這個主意很清楚，您可以計算出每個循環的重復頻率，而不清楚的是細節。 現在，為了緩解這些問題，您可以將這些循環分開並分別加以征服。

對於最外層的循環，很明顯它運行了m次。 也就是說，其復雜度為Θ（mx），其中x為內部事物的復雜度。 對於最內層的循環，情況也非常簡單，它僅取決於n的值，該值是恆定的，因此其復雜度為Θ（n）。

中間的循環要復雜一些。 它的復雜度取決於i ，但是i不是常數，而是外循環的循環變量。 但是，您可以使用平均值作為替代。 在這種情況下，平均值非常簡單，如果您繪制棋盤，則可以將其可視化。 在外循環的第一次迭代中， i=1 ，因此j僅取單個值1 。 在第二次迭代中， i=2和j=1..3 。 在第三個中，它是j=1..5 ，依此類推。 如果將它們相互畫在下面，則會得到三角形的形狀。 它具有寬度1在頂部，寬度2m-1在底部和的高度m 。 因此它的面積是((2m-1)+1)/2=m 。

綜合起來，外環和中環的復雜度為Θ（m），內環的復雜度為Θ（n），因此總體上為Θ（m²n）。