如何在coq中證明“〜（nat = False）”，“〜（nat = bool）”和“〜（nat = True）”

Question

以下兩個命題很容易證明。

Theorem nat_eq_nat : nat = nat.
Proof.
  trivial.
Qed.

Theorem True_neq_False : ~(True = False).
Proof.
  unfold not.
  intros.
  symmetry in H.
  rewrite H.
  trivial.
Qed.

但是當我試圖證明一個稍微不同的命題~(nat = False) ，我發現重寫策略不起作用。 它報道

錯誤：Refiner被賦予了一個參數“fun x：Set => x”，類型為“Set - > Set”而不是“Set - > Prop”。

所以我試着寫一個引理。

Lemma Type_eq_prod : forall (a : Type) (b : Type), a = b -> (a -> b).
Proof.
  intros.
  rewrite <- H.
  trivial.
Qed.

Theorem nat_neq_False : ~(nat = False).
Proof.
  unfold not.
  intros.
  apply (Type_eq_prod nat False) in H.
  inversion H.
  apply 0. (*no subgoals left*)

一切正常，直到現在。 但當我試圖Qed時，它報道了

Error: Illegal application (Type Error): 
The term "Type_eq_prod" of type "forall a b : Type, a = b -> a -> b"
cannot be applied to the terms
 "nat" : "Set"
 "False" : "Prop"
 "H" : "nat = False"
 "0" : "nat"
The 3rd term has type "nat = False" which should be coercible to
 "nat = False".

以下是另外兩個讓我陷入困境的命題。

Theorem nat_neq_bool : ~(nat = bool).
Proof.
  unfold not.
  intros.
Abort.

Theorem nat_neq_true : ~(nat = True).
Proof.
  unfold not.
  intros.
Abort.

我的問題是：

 1.Why the rewrite tactic doesn't work with proposition ~(nat = False).
 2.Why can't I Qed it when there is no subgoals.
 3.How to prove the aborted propositions above or is it possible to prove or prove the negates of them in coq.

Answer 1

1. 由於Coq處理其Universe， Prop ， Set和Type ，重寫策略不起作用。 有一種包含概念允許人們使用Prop ，就像它是Set或Type 。 這就是為什么你被允許首先編寫nat = False ，因為只允許在相同類型的事物之間進行相等。 問題在於，對於Coq， False : Prop與False : Set不同。 not用False : Prop定義False : Prop ，這意味着重寫會產生不匹配，這解釋了你得到的錯誤信息。

   以下是可行的類似方法。 注意顯式強制Set 。

    Lemma nat_neq_False_2 : (nat = False) -> (False : Set). Proof. intros H. rewrite <- H. apply 0. Qed. Lemma nat_neq_False_3 : ~(nat = False). Proof. intros H. destruct (nat_neq_False_2 H). Qed. 

2. 當你使用策略編寫證明時，Coq實際上是在內部構建一個證明術語，但實際上並沒有對它進行類比檢查。 從這個意義上講，它有點像元編程。 一旦你擊中Qed ，由策略構建的術語將發送給類型檢查器，以確保它沒問題。 大多數時候，策略會產生正確的證據，但每隔一段時間就會發現一些不被接受的證據，而你的案例就是一個例子。

   打印的錯誤消息不是很清楚，但可以通過使用命令Set Printing All更好地了解正在發生的事情，這會導致Coq打印所有不帶符號的術語和語句並顯示隱式參數。 執行此操作時，這是您的錯誤消息：

    Set Printing All. Lemma Type_eq_prod : forall (a : Type) (b : Type), a = b -> (a -> b). Proof. intros. rewrite <- H. trivial. Qed. Theorem nat_neq_False : ~(nat = False). Proof. unfold not. intros. apply (Type_eq_prod nat False) in H. inversion H. apply 0. (*no subgoals left*) Qed. (* Error: Illegal application (Type Error): *) (* The term "Type_eq_prod" of type "forall ab : Type, @eq Type ab -> a -> b" *) (* cannot be applied to the terms *) (* "nat" : "Set" *) (* "False" : "Prop" *) (* "H" : "@eq Set nat False" *) (* "O" : "nat" *) (* The 3rd term has type "@eq Set nat False" which should be coercible to *) (* "@eq Type nat False". *) 

   在那里，我們可以看到問題是宇宙不再存在不匹配：一個等式在Type ，而另一個在Set 。 有幾種方法可以解決這個問題; 最簡單的可能是將你的第一個定理改為：

    Lemma Type_eq_prod : forall (a : Set) (b : Set), a = b -> (a -> b). 

3. 兩個命題都可以在Coq中證明。 在Coq的基礎理論中，唯一可以證明nat和bool等簡單類型不同的方法是基數論證。 因此， nat <> bool因為bool只有兩個元素，而nat有更多。 因此，通過顯示bool有兩個元素，可以重寫等式nat = bool以找出nat也應該有兩個元素，然后利用它來獲得矛盾。 類似的參數會顯示nat <> True 。