區分n張圖片的算法

Question

假設您給出長度為k的N位數組。 意味着每個向量v _i的形式為{1,0,0,1 ... 1}（k個分量）等。

現在我想找到最小索引集S = {I ₀ ，I ₁ ...，I _q-1 }，其中0 <= I _i <= k-1這樣

當在S上評估v _i時，其給出二進制序列{v _i [I ₀ ]，v _i [I ₁ ] ..}對於每個v _i是唯一的。

因此，例如，如果有64個向量{v ₀ ... v ₆₃ }，則最小索引集| S | 可以有6號給定v _我很長很不一樣。 因為2 ⁶ = 64。

應用程序是給定一個固定的黑白圖片列表，0 ... 63，你知道輸入將是那些圖片之一，圖片足夠大，你只需要檢查輸入的6個像素來弄清楚它是哪張照片。

這個問題似乎應該已經證明NP或在某處解決了。

任何提示？ 謝謝。

Answer 1

我無法找到與此相對應的NP難題，盡管我確定它是NP難的。 我希望有人可以挖出一個，因為我認為我已經遇到了幾個不同的偽裝問題。 如果沒有，如果我有時間，我可能會稍后嘗試減少。

每列將圖像集分成兩部分; 我們從包含所有圖像的單個集合開始，我們的目標是到達一個分區，其中每個部分（在分區中設置）由單個圖像組成，並且使用盡可能少的列。

一種方法是制作和解決最小集合覆蓋問題 ，其中地面集由所有k（k-1）/ 2 對圖像組成，並且對於每列v_r，我們制作由該列的所有圖像對組成的集合區分 - 即所有圖像對（i，j）使得v_r [i]！= v_r [j]。 然后，任何封面都會將每個圖像與其他所有圖像區分開來，並且最小尺寸的封面將使用盡可能少的列來完成。

實際解決此集合覆蓋問題的最快方法可能是通過制定和求解ILP ，但分支和綁定也可以工作，也可以很容易地變成（快速但可能是次優的）啟發式。

無論哪種方式，在嘗試解決問題之前（以及在添加每個列之后，如果使用B＆B），這里有一些簡單的簡化規則可以應用，這通常會減少問題的大小：

1. 如果將所有1更改為0，則列提供相同的“區分能力”，反之亦然。 因此，如果列的第一個元素是1，則通過反轉來“規范化”列。
2. 將所有相同的列折疊為單個列，因為它們中的任何一列都與其他列完全一樣好。 這可以通過首先對它們進行排序來輕松完成：然后所有相同的列形成一個連續的塊。 執行第一次減少后執行此操作將導致更多減少。
3. 您當然可以刪除任何“常量列” - 它們無法用於區分圖像。
4. 如果你有任何一對相同的行，那么就沒有解決方案：也就是說，即使包括所有k位也不能讓你區分這兩行（圖像）。