使用任意精度數學的log（）算法示例

Question

我正在尋找一種可以在PHP中實現的算法，以使用任意精度數學來獲取整數的自然log（）。 我受到GMP庫的PHP覆蓋庫的限制（有關PHP中可用的GMP功能，請參見http://php.net/manual/zh/ref.gmp.php 。）

如果您知道可以轉換為PHP的通用算法，那也將是一個有用的起點。

我知道，PHP支持本機log（）函數，但是我希望能夠使用任意精度來解決這個問題。

密切相關的是獲取exp（）函數。 如果我的男生數學對我來說是正確的，得到一個可以導致另一個。

Answer 1

好吧，您將擁有泰勒級數，可以對其進行重寫以實現更好的收斂

要將等式轉化為算法，您必須了解收斂級數的工作原理：每個項越來越小。 這種下降發生得足夠快，因此總和是一個有限值：ln（y）。

由於實數具有很好的屬性，因此您可以考慮將序列收斂到ln（y）：

• L（1）= 2/1 *（y-1）/（y + 1）
• L（2）= 2/1 *（y-1）/（y + 1）+ 2/3 *（（y-1）/（y + 1））^ 3
• L（3）= 2/1 *（y-1）/（y + 1）+ 2/3 *（（y-1）/（y + 1））^ 3 + 2/5 *（（y-1 ）/（y + 1））^ 5

.. 等等。

顯然，計算此序列的算法很簡單：

x = (y-1)/(y+1);
z = x * x;
L = 0;
k = 0;
for(k=1; x > epsilon; k+=2)
{
    L += 2 * x / k;
    x *= z;
}

在某個時候，您的x會變得如此之小，以至於它不再會影響L的有趣數字，而只會修改更小的數字。 如果這些修改對於您的目的而言太微不足道了，您可以停止。

因此，如果要達到1e ^ -20的精度，請將epsilon設置為比該值小得多，那么就可以了。

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如果可以的話，請不要忘記在日志中進行分解。 例如，如果它是一個理想的正方形，則ln（a²）= 2 ln（a）實際上，當（y-1）/（y + 1）較小時，該級數將收斂得更快，因此，當y較小時（或更確切地說，更近）到1，但是如果您打算使用整數，則該值應該相等。