具有大階乘的數學（例如除法？）

Question

我試圖找到包含長度大於50的循環的100個數字的置換百分比。這涉及數學與大階乘的除法運算，這不能很快地手動完成，因此我需要求助於編程。 例如，這些術語包含

（3！/ 100！）*（（99！/ 3！）+（98！/ 2！）+（97！/ 1！）+（96！/ 0！））

我可以重新排列所有術語以提供一個大數（> 2 ^ 64），只需將其除以100！ 得到我的答案。

我想了很多，仍然是C ++的新手，我不確定如何進行大數除法。 通常，當我處理大型階乘時，我會將數字的數字輸出到數組中並通過它進行乘法運算，但是我不完全確定如何進行除法運算。 用C ++處理大量數學的最佳方法是什么？

Answer 1

從等式的結構（一個非常大階乘的倒數與一些大小相同的大階乘的倒數）可以明顯看出，可能發生許多抵消。 這意味着即使沒有任何計算，也可以使用一些非常簡單的代數和一點點運氣來解決此問題。

讓我們用一些無辜的小寫字母替換階乘，以免被大數字嚇倒。

用0！ 根據定義= 1，而1！= 1，我們可以跳過這些值並使用以下替換：

a = 2 !, b = 3 !, v = 96 !, w = 97 !, x = 98 !, y = 99 !, z = 100！

那給

(b/z)*(y/b + x/a + w + v)

擴大

b*(y/b + x/a + w + v) * 1/z

擴展分子（為了清晰起見，讓我們使用一些ASCII藝術）

                      b*x
 y +  (b*w) + (b*v) + ---
                       a
 ------------------------
            z

將其全部壓縮一小部分

(a*y) + (a*b*w) + (a*b*v) + (x*b)
---------------------------------
             (a*z)

拆開

 a*y     a*b*w     a*b*v     x*b 
----- + ------- + ------- + -----
 a*z      a*z       a*z      a*z 

是的，看起來不錯，我們可以把數字放回去

 2!*99!       2!*3!*96!       2!*3!*97!      3!*98!
--------- + ------------- + ------------- + ---------
 2!*100!       2!*100!         2!*100!       2!*100!

第一輪取消（可能已經在信函階段完成）

  99!      3!*96!      3!*97!     3!*98!
------ + ---------- + -------- + --------
 100!       100!        100!      2!*100!

階乘相互抵消，但僅部分抵消

第一步

 1         1*2*3        1*2*3     1*2*3
---  + ------------ + --------- + ------
100    97*98*99*100   98*99*100   1*2*99*100

第二步

 1           1            1          1
---  + ------------ + -------- + -------
100    97*98*33*50    98*33*50   2*33*50

公分母

97*98*33*50*2 + 100*2 + 100*97*2 + 100*97*98
--------------------------------------------
           100*97*98*33*50*2

通過將100分解為按摩分子

97*98*33*50*2 + 100*(2*98 + 97*98)
----------------------------------
       100*97*98*33*50*2

部分

  97*98*33*50*2      100*(2*98 + 97*98)
----------------- + -------------------
100*97*98*33*50*2    100*97*98*33*50*2

取消

 1     2*98 + 97*98
--- + --------------
100   97*98*33*50*2

部分

 1        2*98             97*98
--- + -------------- + --------------
100   97*98*33*50*2    97*98*33*50*2 

取消

 1        1          1
--- + -------- + -------
100   97*33*50   33*50*2 

我們減少了98，就消除了。沖洗並重復直到找到最終結果：

  1
 ----
  97

是的，有時只需要一支鉛筆和一張空白紙;-)