包含嵌套循環的代碼的時間復雜性

Question

i := n;
WHILE i > 1
    FOR j := i to n DO
        X;
    END
    FOR j := 3*i to 3*n DO
        X;
    END
    DEC(i); (* i decrement *)
END

對於此偽代碼，我必須根據n計算函數f：N->N。 我第一次做這樣的事情，所以我什至不知道我的方法是否正確。 因此，在第一行中，我有1個固定時間。 while循環運行n-1次+ n次比較和n-1個恆定時間遞減。 第一個for循環運行n-i + 1次。 第二個for循環運行3n-3i + 1次。 所以（我認為）將是公式：f（n）= 1 +（（n-1）+ n +（n-1））*（（n-i + 1）+（3n-3i + 1））那將是f（n）= 12n ^ 2 -12ni -2n + 8i -3

但是現在我有n和i變量了嗎？ 我如何擺脫i ？

Answer 1

假設“ to n”表示“最后一個值是n-1”（就時間復雜度而言並不重要-請參見最終解釋）。

讓我們假設f(X) =運行X的時間復雜度。

總時間為：

1 +
0 + 0 +                   // i=n
f(X) + 3*f(X) +           // i=n-1
2*f(X) + 6*f(X) +         // i=n-2
3*f(X) + 9*f(X) +         // i=n-3
...
(n-2)*f(X) + 3*(n-2)*f(X) // i=2
------------------------------
1 + 4*f(X) + 8*f(X) + 12*f(X) + ... + 4*(n-2)*f(X)

這個總和等於：

1 + 4*f(X)*(1+2+3+...+n-2) = 1 + 4*f(X)*(n-2)*(n-1)/2 

但是常量不影響該函數的趨勢=>結果是：

O(2*f(X)*(n-2)(n-1)) = O(f(X)*(n^2))

如果X只是一個簡單的運算（ O(1) ），則為O(n^2) ）。

PS ：

如果不確定這些常量不會影響最終結果，請嘗試計算：

          1 + 4*f(X)*(n-2)*(n-1)/2 
   lim  ---------------------------
n->infinite      f(X)*n^2

並且您將獲得一個有限的數字（這意味着分子和分母是相似的）。