您如何證明某語言屬於P類？

Question

我有兩種語言：

A = { <M, w> | M accepts w after running for at most 2^500 steps }
B = { <M, w, 1^t> | M accepts w after running for at most t steps }

我需要弄清楚這些語言是否在類P中。我知道一種語言在P類中是否在多時運行。 我很確定語言A的運行時間是指數時間，但我不太確定是否像2 ^ 500這樣的常數使它變為多次時間。

任何幫助表示贊賞，謝謝！

Answer 1

算法時間表示為輸入大小的函數。 如果對於任何輸入，A占用2 ^ 500步，那么它實際上是恆定時間（無論輸入什么，運行時間都是恆定的），這絕對是P。

B采取t步，其中t大概是輸入的大小，因此它是線性時間（時間隨輸入大小線性增加），也以P表示。

如果您遇到的問題需要例如2 ^ t步或t！ （階乘）步驟，則不在P中。查找Big O表示法

Answer 2

語言是P ，如果存在算法，則可以確定給定的輸入是否屬於該語言並且以多項式時間運行。 多項式時間，意味着您可以在輸入的長度中找到多項式函數的上限。

要解決您的示例：

將算法AL₁定義為：
對於元素<M,w>運行M(w) 。
由於M(w)最多取一個常數c = 2⁵⁰⁰步，所以AL₁的復雜度由一個常數多項式來限制。 AL₁ ∈ O(1) 所以A在P中。
將算法AL₂定義為：
對於元素<M,w,1 ^t >運行M(w,1 ^t ) 。
由於M(w,1 ^t )最多需要t步，因此我們必須將輸入長度和t放在一起。 注意，輸入由w和1 ^t 。 1 ^t表示數字t以一元形式輸入（例如1⁵=11111₁=5₁₀）。 這對於輸入長度很重要。 例如1²⁵⁶的長度為256 ，但是256 = 2⁸的長度僅是8 = log₂(256) （二進制）。 因此輸入長度為len(w) + t ， AL₂ ∈ O(t)成立。 因此， AL₂的復雜度也受多項式的限制，因此語言B在P中。

讓我添加一個示例以說明一元和其他數字系統之間的區別非常重要。

C = { <M, w, t> | M accepts w after running for at most t steps }

C基本上像B ，但是t不是一元數制，因此t的長度為log _c (t) 。 對數的底數c無關緊要，因為它僅產生一個常數因子。

輸入長度現在為len(w) + log(t) ，因此O(t)不必是輸入長度中的多項式。 假設len(w)是一個常數（為簡化起見），則t = c ^{log _c (t)}在輸入長度上為指數，因此C 不在 P中。